数列极限求解纠错

dianyancao

如下求出的数列极限是错误的，在哪一步出现错误了？
\(\{a_n\}\)为单调递减有界数列，\(a_n>0\),\(a_n>a_{n+1}\)
求\[\lim_{n\to\infty}{a_n}\]

求解过程：
由\(a_n>a_{n+1}\),得：
\[
\frac{a_1}{a_0}=\beta_1<1 \\
\frac{a_2}{a_1}=\beta_2<1 \\
\]
因此：
\[a_n=a_0\Pi_{i=1}^{n}\beta_i\]
取最大的\(\beta_i\)为\(\alpha\),有：
\[a_n\leq a_0{\alpha}^n\space \space (0<\alpha<1)\]
因此任意给定\(0<\epsilon<1\),存在\(N=\frac{\ln \epsilon}{\ln \alpha}\),当\(n>N\)时，有：
\[
{\alpha}^n\to 0 \\
a_0{\alpha}^n\to 0 \\
\]
所以：
\[\lim_{n\to\infty}{a_n}\leq a_0{\alpha}^n\to 0\]

kastin

`a_n=a_0\Pi_{i=1}^{n}\beta_i` 和 `a_n=a_0{\alpha}^n\space \space (0<\alpha<1)`等价吗？

Lwins_G

`\alpha`是`n`的函数，你应该写成`\alpha(n)`再审视一遍。

dianyancao

是的，考虑如下极限即知
\[\lim_{n\to\infty}{\begin{pmatrix}
\frac{n}{n+c(n)}
\end{pmatrix}^n}=\frac{1}{e^{c(n)}}\]
问题解决，谢谢kastin和Lwins_G