悬链线在满足其约束条件时，其重力势能是否最小？

dianyancao

约束条件：
给定一条两端挂在点P1,P2的连续曲线C，其长度为s

如何寻找一个连续函数作为曲线C的形状，使得曲线C在上述约束条件下的重力势能最小化

kastin

形状不就是悬链线吗？

dianyancao

https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_surface_of_revolution
如何求解下列连续函数\(f(x)\)，使得满足边界条件时积分值最小化？
\[
\int_{x_1}^{x_2}{f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\dif x} \\
边界条件为: \\
f(x_1)=y_1 \\
f(x_2)=y_2 \\
s=\int_{x_1}^{x_2}{\sqrt{1+f'(x)^2}\dif x}
\]

kastin

dianyancao 发表于 2014-7-9 19:11
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_surface_of_revolution
如何求解下列连续函数\(f(x)\)，使得满足 ...

待定参数`c_1`和`c_2`由边值条件`f(x_1)=y_1` 和`f(x_2)=y_2`确定。

dianyancao

非常感谢kastin，要学习变分法了

282842712474

dianyancao 发表于 2014-7-9 19:11
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_surface_of_revolution
如何求解下列连续函数\(f(x)\)，使得满足 ...

这里的操作还是有点不严格的，因为还没有确定“等长”这一约束。

严格来说，需要用弧长参数，在弧长的两端，点是固定的，也就是说，s=0和s=l处的点是固定的~x=x(s),y=y(s)，这是关于自变量s、因变量为x、y的二元变分问题了，而不是y关于x的一元变分问题。

当然，我说的是过程的不严谨，答案是正确的。