威尔逊定律与费马小定理能互相导出吗?

kastin

cn8888 发表于 2015-9-30 08:19
对于p>2的整数
对于威尔逊定理:如果(p-1)!+1=0(modp) 则p是素数,如果(p-1)!+1=0(modp) 不成立,则p是合数
...

hujunhua在7楼已经解释的很清楚了，这并没有什么问题。你之所以出现6楼和10楼的疑问，是因为你认定“命题等价意味着命题必须有同样的逻辑形式”。这没有什么逻辑依据，因为命题等价意味着他们反映的是同一个本质，只是不同体现形式。也就是说，这种等价的大前提是它们必须是各自正确的表现形式（即命题本身应该是真，才会等价）。如果因为等价，并且一个命题逻辑形式发生改变（但仍为真）[即10楼的例子]，就判断另一个命题以同样逻辑形式改变仍应该为真，这是毫无依据的。前面已经说了，承认了等价，就隐藏地承认了命题各自为真，而费马小定理的逆定理未必为真。

事实上，威尔逊定理的本质是素数模的对合性，费马小定理的本质是素数模的周期性（阶），更高的观点上来说，他们体现的都是一种特殊乘法群的性质。这里有更简洁清晰的解释http://blog.sciencenet.cn/blog-976045-760960.html

进一步说，威尔逊定理和费马小定理之所以能相互推导，乃是由于它们基于共同一个本质：p是素数。这一点我可以构造一个类似的例子来说明：

命题甲（逆命题成立）：`a`是非零实数，且`a^3=-1`,那么`a^4=-a`.
命题乙（逆命题未必成立）：`a`是非零实数，且`a^5=-1`,那么`a^6=1`.

首先，命题甲的逆命题是成立的，因为`a`不等于零。显然命题乙的逆命题不成立，因为`a`可以等于-1。
很容易证明，命题甲和命题乙是等价的——因为本质就是`a=-1`。你不能因为甲的逆命题成立，并且甲乙等价，从而要求乙的逆命题也成立。

nyy

kastin 发表于 2015-9-30 12:00
hujunhua在7楼已经解释的很清楚了，这并没有什么问题。你之所以出现6楼和10楼的疑问，是因为你认定“命题 ...

你的命题甲 命题乙，值得我思考思考

nyy

两个定理互相推的前提是p是素数！

lihpb00

费马小定理可以导出的 威尔逊定律