一道中考题目

northwolves

24.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，N为AB边上一动点，将△ANM沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A'C，,则A'C长度最小值是_____.

竟然难住我了

倪举鹏

以M为圆心MA为半径画圆，再连接MC 交点就是

wayne

因为翻折的缘故，$A A'$ 是垂直平分线，所以 $AM =A'M$ ,又因为$AM = DM$,
所以 $A A'D$始终是直角三角形，$A'$始终垂直于$A A'$,或者说$A'$始终在 以$M$为圆心$MA$为半径的圆的圆周上

于是问题就转化成了：求点$C$到 以$M$为圆心$MA$为半径的圆的最短距离。

根据两点之间线段的距离最短， 做直线$CM$交圆于一点，即为所求

chyanog

用解析几何的方法，比较麻烦但能算出来。菱形的方程为：Abs[x]/Sqrt[3] + Abs[y]/1 == 1，A(-Sqrt[3],0)，C(Sqrt[3],0)，M(-Sqrt[3]/2, 1/2)，N在直线x/Sqrt[3] + y + 1 == 0上，设N(xn,yn)，可以求出出直线MN，根据A'与A关于MN对称可以用xn,yn表示出A'的坐标，再用两点间的距离公式

1. {xa1,ya1}/.Flatten@Solve[{Det[{{(xa1-Sqrt[3])/2,ya1/2,1},{-Sqrt[3]/2,1/2,1},{xn,yn,1}}]==0,
   
2. {xa1-(-Sqrt[3]),ya1-0}.{xn-(-Sqrt[3]/2),yn-1/2}==0},{xa1,ya1}]
   
3. Minimize[{Sqrt@Total[(%-{Sqrt[3],0})^2],xn/Sqrt[3]+yn+1==0,-Sqrt[3]<xn<0,-1<yn<0},{xn,yn}]//FullSimplify

复制代码

估计用三角函数算也可以

northwolves

我的计算结果是$sqrt(7)-1$

chyanog

另一道有点类似的中考题：
E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ____．

hujunhua

主贴中的题，可直接用三角不等式。MA'+A'C≥MC, 或者A‘C≥MC-MA’。已知MA‘=MA=1，易计算MC=√7，所以A‘C≥√7-1

hujunhua

chyanog 发表于 2014-7-20 16:13
另一道有点类似的中考题：
E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于 ...

延长AG交正方形边CD于I，易得△ABE≌△CDF≌△IDA，故该题可以简化如下：
16‘. E，I分别是正方形ABCD的边AD和CD上动点，满足AE＝DI．连接AI和BE得交点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ____．

易知∠AHB为直角，所以该题构图看似与主帖不类，但动点H的轨迹也是圆弧，故6#所言类似不虚。