NSF发布：The Mathematical Sciences in 2025

数学星空

由美国国家科学基金会（NSF）数学科学部（DMS）资助，美国国家研究委员会任命数学学科领域大批专家和与数学、统计学相关领域的专家组成的“2025年美国国家研究委员会（NRC）数学科学委员会”，开展了“2025年的数学科学”这项研究，并撰写了《2025年的数学科学》报告。

这项研究将对数学科学的发展现状和新发展趋势进行前瞻性评估，新发展趋势将影响数学及其利益相关者。具体内容主要包括：（1）数学科学研究的活力，数学科学发展的统一性和连贯性、最近发展的意义、前沿发展速度和新趋势；（2）数学科学研究和教育对工程科学、工业和技术、创新和经济竞争力、国家安全、与国家利益相关的其他领域的影响；（3）为美国国家科学基金会数学科学部提供建议，通过如何调整其工作组合，提高本学科的活力和影响力。

美国数学科学事业一直表现出非凡的活力，无论是在基础理论研究还是在高影响力的应用研究方面都取得了重大研究进展。随着数学科学各分支领域之间相互交叉与融合，数学科学正表现出很强的统一性和连贯性。从历史上看，数学各分支的相互交叉与融合曾带动了意想不到的成就，数学和应用领域之间的大量相互影响也发挥了相同的作用。两者都是非常可喜的现象。数学学科的活力为科学与工程、乃至整个国家的发展发挥了重要作用。

二十一世纪的头几年对于数学科学而言是不平凡的。令人兴奋的成就包括：庞加莱猜想的证明和“基本引理”的证明；复杂模型不确定性量化方面取得的进展；复杂系统（如社交网络）的建模和分析新方法；从生物学、天文学、互联网和其他领域的海量数据中挖掘知识的方法；压缩传感的发展等。随着理学、工学、医学、商业以及国防等越来越多的领域依赖于复杂计算机模拟和海量数据的分析，数学科学为计算机模拟与海量数据分析提供基本的语言，因此在这些领域发挥着越来越重要的作用，日益成为社会科学的基础，已成为许多新兴领域不可或缺的重要组成部分。人们使用的数学科学思想和技术范围在不断扩大的同时，数学科学的用途也在不断扩展。二十一世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上。

对基础科学的支持总是脆弱的，对核心数学科学的支持更是如此。为了保持整个数学科学事业的长期蓬勃发展，核心数学必须蓬勃发展。这需要大学和政府对数学科学的核心领域投入资金。这些投入不会在应用中得到立即和直接的回报，而是随着数学科学的长期积累和沉淀、保持活力，获得长期回报。通过基础理论知识存储的不断增长，将引起许多创新的未来应用。如果对理论知识存储不够重视，则会给美国带来麻烦。

数学科学几乎渗透到日常生活各个方面，如互联网搜索、医疗成像、电脑动画、数值天气预报和其他计算机模拟、各类数字通信、商业、军事的优化以及金融风险分析等都用到数学，数学科学是以上这些功能的基础。

数学科学日益成为生物学、医学、社会科学、商业、先进设计、气候、金融、先进材料等许多研究领域不可或缺的重要组成部分。数学科学涉及最广泛意义上的数学、统计学和计算综合，以及这些领域与潜在应用领域的相互作用。所有这些活动对于经济增长、国家竞争力和国家安全都是至关重要的，这些事实应该让人们重新认识整个数学科学的资助性质和资助规模，应该重视数学科学的教育。

许多数学科学家还没有认识到自己研究领域的作用在不断扩大，这种情况会限制数学科学界培养学生和吸引更多学生的能力。整个数学科学界需要共同努力，重新设计大学数学科学课程。需要改进数学科学家与外界保持联系的机制，吸引更多的学生到数学科学领域，储备更多的人才，满足未来发展需求。

数学科学在二十一世纪的发展机会令人兴奋，巩固其作为研究和技术的关键作用，保持核心力量，这是数学科学生态系统的一个关键元素，对于其未来发展至关重要。数学科学与二十世纪后半期普遍存在的情况有着本质的不同，各个领域各种不同的模型正在不断出现，数学的新兴学科具有更广阔应用范围，会产生更大的潜在影响。在新模式下，数学科学界取得了巨大的成功。如果有更多的数学家具有以下特点，数学科学对于整个科学、工程、企业和国家将发挥更大作用：

·他们具有多个学科的渊博知识，具备除了自己专业领域外的专业知识；

·他们能够与其他学科的研究人员进行良好的沟通；

·他们要了解数学科学在理学、工学、医学、国防与商业领域中的作用；

·他们有一些计算经验。

所有的数学家必须具备这些能力，体现这些特点，努力提高数学家的比例。为了在这些领域取得进步，应该注意以下方面：

·发展数学科学文化，具有广泛的交叉与融合的特征。

·应该对机构的资助机制和奖励制度进行调整，促进数学家们适当的跨学科职业生涯。

·数学和统计部门的期望和奖励制度应进行调整，以鼓励数学科学在其他领域更广泛的应用，奖励数学在任何领域内的重要贡献。

·应该建立机制，帮助数学科学家与其他领域的可能成为合作者的研究人员建立联系。数学科学资助机构和学术部门可以发挥作用，促进他们建立联系。学术部门可以通过多种方式，如召开联合研讨会、召开跨学科交叉研讨会、提供跨学科博士后职位、与其他部门在课程规划中协作，以及通过各种任命，推动这一进程的发展。

·今天许多科学和工程方面取得的进步都以数学科学的进步为基础，许多项目的成功、甚至有效性都依赖于数学科学家的早期参与。数学科学家应该更多参加到跨学科设计和奖励资助计划的专家小组内。

·增加对数学的资金投入。

扩大的数学科学

数学科学通过对抽象结构的符号推理和计算认识世界。数学科学一方面发掘和理解这些抽象结构之间的深层关系，另一方面对抽象结构进行建模、推理或利用他们作为计算框架捕捉世界的某些特征，然后再重新回到对世界的预测。这是一个迭代过程。数学还有一个方面是使用抽象推理和抽象结构从数据对世界做出推论。把经验观察转变为对事实进行分类、排序和理解的方法，是科学的基本承诺。通过数学科学，研究人员可以构建一个知识体系，理解其中的相互关系，并在其中发现和使用任何认识所需的知识。通过数学科学这一自然通道，概念、工具和最佳实践，可以从一个领域过渡到另一个领域。

2025数学科学委员会发现，数学正在不断扩大，数学科学的边界开始变得模糊，同时跨越各分支领域和该学科的思想变得越来越统一。数学科学和其他研究领域之间的界限也在逐渐消失。自然科学、社会科学、生命科学、计算机科学和工程领域许多研究人员在自己的领域和数学科学都很在行。这样的人数在不断增加，越来越多的研究领域与数学之间的联系越来越密切。这让人想到理论物理学或理论计算机科学，很难将他们与数学家的研究工作区分开，类似的交叉重叠现象也出现在理论生态学、生物数学、生物信息学等越来越多的领域。

现在，数学科学的延伸远远超出了机构的界限，这些机构包括学术部门、资助部门、专业协会，以及主要期刊部门，它们支持该领域的核心领域。它们构成了一个丰富而复杂的生态系统，在该系统中，在某个领域受到教育的人往往在另一个领域做出贡献，一个领域内的问题的答案可能意外地出现于另一个领域产生的思想。数学科学的研究人员带来了特殊的观点和技能，补充了其他背景研究人员的数学复杂观点。数学与其他科学、工程、医学和商业等许多领域之间的联系不断扩大，使得拥有一个强大的数学科学界比以往任何时候都更重要，因为可以通过该共同体进行思想交流。正如最近一篇对英国数学科学事业的评论写道，“对社会健康发展和繁荣的主要贡献来自整个数学科学的见解、结果和算法，涵盖最纯粹的应用启发的纯理论，实用的应用，各种形式的统计，运筹学研究的理论和实践融合。”

2025数学科学委员会成员和许多研究数学科学的人都认为，将数学科学作为一个统一的整体进行考虑是关键的。“核心”数学和“应用”数学之间的区别越来越模糊，今天很难找到一个数学领域与应用不相关。一些数学家主要证明定理，而一些数学家主要建立和求解模型，专业奖励制度就需要考虑到这一点。任何给定个体可能在这些研究模式之间变动，许多专业化领域可以而且确实包括这两种工作。英国工程与物质研究理事会的回顾很好地论述了这一点：数学科学界的贡献，应该被视为一个整体。虽然一些研究人员一些时间集中解决现实世界的挑战，而其他研究人员提出了显著的见解和成果，通过追求自我导向的冒险精神研究促进和加强了整个数学科学的发展。

数学科学共享一个共性的经验和思维过程，很长一段时间以来，一个分支领域的见解往往用于另一个分支领域。数学科学的强大核心包括可以多种不同方式应用的基本概念、结果，以及持续探索，对于整个事业是必不可少的，因为它是联系各领域数学科学家的共同基础。

数学科学覆盖范围不断扩大的两个主要驱动力是，无处不在的计算模拟（它建立在数学科学的概念和工具的基础上）和很多企业数据量呈指数级增长。互联网使得这些海量数据随时可用，放大了这两个驱动力的影响。科学、工程和工业等许多领域关注建立和评估数学模型，通过计算模型对它们进行探索，并分析大量的观测数据和计算数据。这些工作本质上都具有数学性质，目前还不能明确区分对数学科学开展的研究工作和对计算机科学或需要建模与分析的学科进行的研究工作。如果知识和人都能够快速地分布在一系列努力中，数学科学事业的健康和活力将得到最大化发展。“数学科学”的定义必须广泛：数学学科涵盖了各种活动的广泛范围，无论从事该工作的人是否认为自己是数学家。

从事这些交叉领域的人员数量很多，其中包括地球科学、社会科学、生物信息学等方面的统计学家，由于历史原因，他们成为专门的统计学分支；一些科学计算和计算科学与工程的研究人员；为加密技术做出贡献的数字理论家，以及为机器学习做出贡献的真正的分析师和统计人员；运筹学研究人员，一些计算机科学家，一些物理学家、化学家、生态学家、生物学家和依靠复杂数学科学方法的经济学家；促进数学建模和计算机模拟的许多工程师也包括在内。

统计数据表明，最近几年，同时学习数学和其他领域（从生物学到工程）的研究生数量急剧增加。如果这种现象与委员会所认为的一样，数学科学研究生教育将促进科学与工程，以及交叉领域利益增长。

美国国家科学基金会应该系统地收集这种相互作用的数据，例如，通过调查数学科学部门，获得数学科学研究生课程从其他学科招收学生的数量，以及从数学科学以外课程招收的研究生规模。应该要求美国数学学会，延长其年度调查，包括这种询问，是收集这些数据的最有效方式。

美国国家科学基金会数学科学部和其他资助部门的计划官员要知道数学科学与其他学科之间许多的交叉重叠。有很多资助灵活的案例，数学家主要获得数学科学部的资助，也可以申请其他部门的资助，反之亦然，其他领域的科学家也可以申请数学科学部的资助。数学科学部与美国国家科学基金会的其他部门开展不同程度的合作，通过正式的机制，如设计共同资助计划，和非正式的机制，如计划官员考虑不同部门的建议，学部之间在评审时互相帮助等。为了数学科学界更全面地了解其应用范围，帮助资助机构最好地针对他们的计划，委员会建议采取比以前更有条理的方法收集数据。

美国国家科学基金会应该收集具有数学科学特征的研究在该组织其他地方得到支持的数据。应美国国家科学基金会数学和物理科学助理主任的要求，美国国家科学基金会内部正在开展一项针对获得关于统计科学了解的研究。一项更广泛的研究将有助于数学科学界更好地了解其目前的影响力，并可以帮助数学科学部定位其本身的投资计划，最好地补充整个数学科学事业的其他支持。它将提供一个基线，确定该事业中随着时间的推移发生的变化。支持数学科学的其他机构和基金会，将从类似的自我评价中受益。

虽然数学科学的应用范围不断扩大，影响力不断增大，但委员会关注目前用于支持这一扩展的联邦资金是否充足。委员会认为，虽然过去几十年间用于数学科学的联邦资金增长一直很强劲（特别是在美国国家科学基金会），但这种增长并不能与目前研究中发现的知识扩展相称。

对于过去15年中数学科学作用的急剧扩张，无论是资助经费总量，还是资金来源的多样化，并没有与之相应的联邦资金增长。数学科学的主要经费来源，特别是核心领域的经费来源，仍然严重依赖于美国国家科学基金会。

影响数学科学发展的其他趋势

除了数学科学的影响不断增长外，该学科内部问题驱动的研究，使得各分支领域间的相互联系越来越强劲，越来越需要同时涉及两个或两个以上数学分支领域的研究。最重要的一些最新进展建立在一些过去很少联系在一起的领域的研究基础上，例如概率论与组合数学。这种变化是不平凡的，因为研究人员必须掌握大量的知识。由于这些跨学科的机会，今天的教育决不是完整的，在一些较早的领域，数学家可能会比过去获得更大的突破，因为研究前沿领域需要许多额外的知识。由于这些原因，对于更多的学生来说，博士后研究工作更必要，特别是数学专业的学生。

过去十多年中，数学科学的另一个显著变化是成立了额外的数学科学机构，及其对该学科和数学界产生的更大影响力。这些机构发挥了重要作用，帮助不同职业生涯阶段的数学科学家，学习新领域，开展新合作。一些机构建立了数学科学和其他领域之间的联系，一些机构在向行业和广大市民推广中扮演重要的角色。他们在改变和扩大数学科学文化中的影响力是巨大的。

第三个重要趋势是，基于互联网的新学术交流模式的兴起。虽然数学科学家之间面对面的会议仍然是一种重要的沟通方式，但现在对于数学科学家来说，与世界各地的研究人员开展合作已经更容易了。新的合作和“出版”模式要求调整影响质量控制和衡量专业成就的方式。

委员会还关注，互联网不断发展带来新交流模式的同时，保留数学研究成果的长期易用性。例如，公共档案如arXiv扮演着重要的角色，但其长期的资金投入却没有保障，并且不如它们原本应该的那样得到更普遍的应用。数学科学界作为一个整体，需要通过其专业的组织制定一个战略，优化易用性，美国国家自然科学基金会可以发挥领导作用，推动和支持这一工作。

最后一个趋势是整个科学与工程领域无处不在的计算，该趋势开始于几十年前，在20世纪90年代增强。科学计算本身已经发展成为一个研究领域，但学术机构往往不对其进行统一的研究，而是以小的群体分散在各种科学和工程部门。数学科学部门应发挥作用，了解其研究机构提供了计算研究和教育的中心场所。因为计算往往是数学科学应用于其他领域的手段，也带动了数学科学的许多新应用，所以大部分数学科学家对科学计算有一个基本的了解是很重要的。学术部门要考虑研讨会或其他方法，使数学科学家们可以很容易地了解迅速发展的前沿计算。因为计算的性质和范围是不断变化的，因此需要一个机制，确保在适当的范围内，数学科学研究人员有机会获得计算能力。美国国家科学基金会数学科学部应考虑制订计划，确保研究人员可以获得最先进的计算能力。

(刘小平翻译自：http://www.nap.edu/catalog.php?record_id=15269 部分)