求不定方程`x^2+y^2=kz^2`的通解公式

mathe

那是$\mathbb{Q}[k]$

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http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/clss.pdf

wsc810

x^2+y^2=5z^2和k=113怎么解

282842712474

学习了几天，我也来写写。
方程可以写成$(x+yi)(x-yi)=k z^2$，首先考虑$k$是一个奇素数的时候，如果$k=4n+3$，那么k在$\mathbb{Z}[ i]$中也是素数，于是$k|x+yi$或者$k|x-yi$，这都是不可能的。因此$k$只能是$4k+1$型的。如此一来，$k$就不是$\mathbb{Z}[i ]$中的素数，$k=(p+qi)(p-qi)$，p、q是实整数，并且这种分解是唯一的。于是$x+yi=(p+qi)(u+vi),x-yi=(p-qi)(u-vi)$，于是$(u+vi)(u-vi)=z^2=u^2+v^2$，变成了勾股数问题。

k是2时类似上面的情况。

k是合数时，分解为若干个素数之积，$4k+3$型的素数因子个数为偶数，否则同样导出矛盾。

葡萄糖

@282842712474 小苏同学有空可以试一试k=2的情况。即解不定方程
hujunhua 发表于 2014-7-31 17:42:16

不定方程\(x^2+y^2=2z^2\)的非平凡正整数解为
\((x,y,z)=\left(a^2+2ab-b^2,\,\big|b^2+2ab-a^2\big|,\,z=a^2+b^2\right)\),
\(\gcd(a,b)=1\)，不妨使\(a>b\)，其中\(a,b\)一奇一偶，
设\(z\)不超过整数\(m\)的解数为\(N(m)\)，其\(N(m)\sim\frac{m}{2\pi}\)
证明：令\(x_0=z_0+b\),\(y_0=z_0-a\),\(a\in\mathbb{N}\),\(b\in\mathbb{N}\).
\[x_0^2+y_0^2=(z_0+b)^2+(z_0-a)^2=2z_0^2\\
\Rightarrow2(a-b)z_0=a^2+b^2\Rightarrow z_0=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)}\\
\]
于是
\[x_0=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)}+b=\frac{a^2+2ab-b^2}{2(a-b)}\\
y_0=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)}-a=\frac{b^2+2ab-a^2}{2(a-b)}
\]
\begin{align*}
2(a-b)x_0&=a^2+2ab-b^2\\
2(a-b)y_0&=b^2+2ab-a^2\\
2(a-b)z_0&=a^2+b^2
\end{align*}
\(b^2+2ab-a^2=b^2+2ab+a^2-2a^2=(a+b)^2-2a^2=\Big[b-(\sqrt2-1)a\Big]\Big[b+(\sqrt2+1)a\Big]\)
当\(b<(\sqrt2-1)a\)时，\(b^2+2ab-a^2<0\)，故取\((x,y,z)=\left(a^2+2ab-b^2,\,\big|b^2+2ab-a^2\big|,\,z=a^2+b^2\right)\)
参见：《论不定方程》陈建和著 湖南师范大学出版社 , 2013.05