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楼主: wsc810

[原创] 求不定方程`x^2+y^2=kz^2`的通解公式

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发表于 2014-8-2 11:15:06 来自手机 | 显示全部楼层
那是$\mathbb{Q}[k]$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-8-2 12:35:42 来自手机 | 显示全部楼层
http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/clss.pdf
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 楼主| 发表于 2014-8-11 00:01:37 来自手机 | 显示全部楼层
x^2+y^2=5z^2和k=113怎么解

点评

113=(7+8i)(7-8i),代入就行了  发表于 2014-8-11 08:29
按7#的方法。5=(1+2i)(1-2i), 本原解为x=s^2 −t^2 −4st,y=2(s^2 −t^2 +st),z=s^2 +t^2  发表于 2014-8-11 08:28
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发表于 2014-8-21 16:28:49 | 显示全部楼层
学习了几天,我也来写写。
方程可以写成$(x+yi)(x-yi)=k z^2$,首先考虑$k$是一个奇素数的时候,如果$k=4n+3$,那么k在$\mathbb{Z}[ i]$中也是素数,于是$k|x+yi$或者$k|x-yi$,这都是不可能的。因此$k$只能是$4k+1$型的。如此一来,$k$就不是$\mathbb{Z}[i ]$中的素数,$k=(p+qi)(p-qi)$,p、q是实整数,并且这种分解是唯一的。于是$x+yi=(p+qi)(u+vi),x-yi=(p-qi)(u-vi)$,于是$(u+vi)(u-vi)=z^2=u^2+v^2$,变成了勾股数问题。

k是2时类似上面的情况。

k是合数时,分解为若干个素数之积,$4k+3$型的素数因子个数为偶数,否则同样导出矛盾。
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发表于 2018-9-12 21:52:15 | 显示全部楼层
@282842712474 小苏同学有空可以试一试k=2的情况。即解不定方程
hujunhua 发表于 2014-7-31 17:42:16


不定方程\(x^2+y^2=2z^2\)的非平凡正整数解为
\((x,y,z)=\left(a^2+2ab-b^2,\,\big|b^2+2ab-a^2\big|,\,z=a^2+b^2\right)\),
\(\gcd(a,b)=1\),不妨使\(a>b\),其中\(a,b\)一奇一偶,
设\(z\)不超过整数\(m\)的解数为\(N(m)\),其\(N(m)\sim\frac{m}{2\pi}\)
证明:令\(x_0=z_0+b\),\(y_0=z_0-a\),\(a\in\mathbb{N}\),\(b\in\mathbb{N}\).
\[x_0^2+y_0^2=(z_0+b)^2+(z_0-a)^2=2z_0^2\\
\Rightarrow2(a-b)z_0=a^2+b^2\Rightarrow z_0=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)}\\
\]
于是
\[x_0=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)}+b=\frac{a^2+2ab-b^2}{2(a-b)}\\
y_0=\frac{a^2+b^2}{2(a-b)}-a=\frac{b^2+2ab-a^2}{2(a-b)}
\]
\begin{align*}
2(a-b)x_0&=a^2+2ab-b^2\\
2(a-b)y_0&=b^2+2ab-a^2\\
2(a-b)z_0&=a^2+b^2
\end{align*}
\(b^2+2ab-a^2=b^2+2ab+a^2-2a^2=(a+b)^2-2a^2=\Big[b-(\sqrt2-1)a\Big]\Big[b+(\sqrt2+1)a\Big]\)
当\(b<(\sqrt2-1)a\)时,\(b^2+2ab-a^2<0\),故取\((x,y,z)=\left(a^2+2ab-b^2,\,\big|b^2+2ab-a^2\big|,\,z=a^2+b^2\right)\)
参见:《论不定方程》陈建和著 湖南师范大学出版社 , 2013.05

点评

从简单的说起:(n^2+2n-1)^2+(n^2-2n-1)^2=2*(n^2+1)^2  发表于 2018-9-26 19:56
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