[√x]类数论题

fungarwai

1. 已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\left[n\sqrt{2}\right],n=0,1,2,\dots\)，求证\(\{a_n\}\)有无穷多项是完全平方数。

2. 求证：在数列\(a_n=\left[2^n \sqrt{2}\right],n=1,2,...\)中有无穷多个合数。

cn8888

用mathematica算了一下,感觉是正确的命令,但是证明却不会

cn8888

Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
Do[t=Sqrt@Floor[k*Sqrt[2]];If[Element[t,Integers],Print[{k,t}]],{k,1,200}]

282842712474

关于第一个问题，其实还算比较显然，证明应该是反过来构造平方数。
如果$\frac{m^2}{\sqrt{2}} < n = [\frac{m^2+1}{\sqrt{2}} ] < \frac{m^2+1}{\sqrt{2}}$，那么$[n\sqrt{2}]=m^2$是一个平方数。
也就是说，这等价存在于无数个m，使得$\frac{m^2}{\sqrt{2}}$的小数部分大于$1-\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.3$。



为了证明无限性，考虑$m=2\times 10^n$，有$\frac{m^2}{\sqrt{2}}=10^{2n}\times \sqrt{8}=10^{2n}\times 2.82842712474...$。这只需要证明$\sqrt{8}$的十进制小数的第奇数位有无穷多个大于2的数字（然后我们取适当的n即可），这应该是成立的。当然，考虑到证明第奇数位有无穷多个大于2的数字不容易，我们可以绕过这一困难。



如果从某个奇数k开始，$\sqrt{8}$之后的奇数位数字不超过2。这得分两种情况讨论，第一种是$\sqrt{8}$之后的奇数位数字有无穷多个1，那么我们考虑$m=4\times 10^n$，也就是$\frac{m^2}{\sqrt{2}}=10^{2n}\times (\sqrt{8}\times 4)$，此时$\sqrt{8}$的小数中1对应的位置在$\sqrt{8}\times 4$中已经变成了大于等于4的数字。（比如说0.0018，第三位是1，乘以4后第三位变成了7）；第二种情况是$\sqrt{8}$之后的奇数位数字有无穷多个2，只有有限个1，那么需要考虑$m=32\times 10^n$，这样子$\frac{m^2}{\sqrt{2}}=10^{2n}\times (\sqrt{8}\times 256)$，此时$\sqrt{8}$的小数中2对应的位置的前两位的位置在$\sqrt{8}\times 256$中已经变成了大于等于5的数字。比如0.000026，第五位是2，乘以256后变成了0.006656，第(5-2)位变成了6。

类似地可以证明$[n\sqrt{k}]$中有无穷多个平方数，证明只需要稍加调整，增加部分步骤即可。

fungarwai

2.

设$x_n=\{2^n \sqrt{2}\}$为$2^n \sqrt{2}$的小数部分，
若$a_n$为奇数，$x_n<0.5$，则$a_{n+1}$为偶数。
若$a_n$为奇数，$x_n \ge 0.5$，则$a_{n+1}$为奇数，$x_{n+1}=2x_n-1=x_n-(1-x_n)$递减，当$x_{n+k}<0.5$时$a_{n+k+1}$为偶数。

$[2^n \sqrt{2}]$有无穷多个偶数