如何通过差分的办法求解多项式通项的系数呢?

cn8888

16, 63, 260, 787, 1896, 3911, 7228, 12315, 19712, 30031, 43956, 62243, 85720, 115287, 151916, 196651, 250608, 314975, 391012, 480051
他的通项公式是多项式,
这个是前20项,
如何通过差分的办法求解通项公式呢?
我说的不是待定系数法

kastin

设`f(x)=a_kx^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0`.
由于`\Delta^sf(x)= \begin{cases}k!\,a_k &(s=k)\\
0&(s>k)\end{cases}`
因此我们只要构造`f(n)`的`k+1`阶差分表即可.

首先确定`k`的值，经计算可知`\Delta^4f(x)=72`,故`k=4`. 作差分表如下：
\begin{array}{c|rrrr}  
\hline
n && f(n) & \Delta f(n) & \Delta^2 f(n) & \Delta^3 f(n) & \Delta^4 f(n) & \Delta^5 f(n) \\
\hline
1 &&16      &47     &150   &180    &72   &0\\
2 &&63      &197    &330   &252   &72\\
3 &&260    &527    &582   &324\\
4 &&787    &1109  &906\\
5 &&1896  &2015 \\
6 && 3911\\
\hline
\end{array}若用`I`表示恒等算子，`E`表示移位算子，`\Delta`为前向差分算子，可知$$\begin{align*}f(n)&=E^{n-1}f(1)\\
&=(\Delta+I)^{n-1}f(1)\\
&=\sum_{i=0}^{n-1}\text{C}_{n-1}^i\Delta^if(1)\end{align*}$$利用差分表，得$$\begin{equation*}\begin{split}
f(n)&=16\text{C}_{n-1}^0+47\text{C}_{n-1}^1+150\text{C}_{n-1}^2+180\text{C}_{n-1}^3+72\text{C}_{n-1}^4\\
&=3 n^4+2 n+11
\end{split}\end{equation*}$$

cn8888

前n项和的公式是:
\begin{equation*}\begin{split}
F(n)&=16\text{C}_{n}^1+47\text{C}_{n}^2+150\text{C}_{n}^3+180\text{C}_{n}^4+72\text{C}_{n}^5\\
&=\frac{119 n}{10}+n^2+n^3+\frac{3 n^4}{2}+\frac{3 n^5}{5}
\end{split}\end{equation*}

cn8888

猜测的依据是来源:
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 22&fromuid=8888

cn8888

1^4+2^4+3^4+…+n^4=?
http://bbs.emath.ac.cn/thread-4686-1-1.html

更短的组合数等幂和
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5548-1-1.html

kastin

@cn8888
如果看不懂的话，我详细补充一下相关知识。
各个算子的定义是
移位算子：`\quad \quad E^kf(x)=f(x+k)`
前向差分算子：`~~\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)`，`\Delta^k f(x)=\Delta \Delta^{k-1}f(x)`
恒等算子：`\quad \quad I^kf(x)=f(x)`，即`I`就是单位`1`
于是根据定义有恒等式$$\Delta=E-I$$或者`E=\Delta+I`，`I=E-\Delta`
这三个等式可以导出很多关于函数差分的性质，比如
设`a`为任意正整数，那么$$f(x+a)=E^af(x)=(\Delta+I)^af(x)=\sum_{i=0}^a\text{C}_a^i\Delta^if(x)$$若令`z=x+a`，那么`f(z)=\sum_{i=0}^a\text{C}_a^i\Delta^if(z-a)`
又如$$f(x)=I^af(x)=(E-\Delta)^af(x)=\sum_{i=0}^a(-1)^i\text{C}_a^i\Delta^if(x+a-i)$$
若令`z=x+a`，则`f(z-a)=\sum_{i=0}^a(-1)^i\text{C}_a^i\Delta^if(z-i)`
再比如，可以导出`n`阶差分的计算$$\Delta^nf(x)=(E-I)^nf(x)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\text{C}_n^if(x+i)$$

如果还想深入点，还有
后向差分算子`\D\nabla=I-E^{-1}`
一倍步长中心差分算子`\D\delta^{\frac{1}{2}}=E^{\frac{1}{2}}-E^{-\frac{1}{2}}`，两倍步长中心差分算子`\D\delta=E-E^{-1}`
算术平均算子`\D\mu^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(E^{\frac{1}{2}}+E^{-\frac{1}{2}})`等等。
上述所有算子性质都非常好（满足交换律，而且都是线性算子）。因此根据定义可继续推出一些恒等式：
$$\begin{align*}\Delta\nabla&=\nabla\Delta=\delta^2\\&=E-2I+E^{-1}\\
\nabla E&=\Delta=\delta E^{\frac{1}{2}}\\
\nabla+\Delta&=2\mu\delta=E-E^{-1}\\
\nabla-\Delta&=-\Delta\nabla\\
\nabla^2+\Delta^2&=(\Delta\nabla)^2+2(\Delta\nabla)\end{align*}$$

进一步，若用`D`表示微分算子，即`Df(x)=f'(x)`，`D^kf(x)=f^{(k)}(x)`
根据泰勒级数$$\begin{equation*}\begin{split}f(x+h)&=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+\frac{f'''(x)}{3!}h^3+\cdots\\
&=f(x)+hDf(x)+\frac{h^2}{2!}D^2f(x)+\frac{h^3}{3!}D^3f(x)+\cdots\\
&=(1+hD+\frac{(hD)^2}{2!}+\frac{(hD)^3}{3!}+\cdots)f(x)\\
&=\text{e}^{hD} f(x)\end{split}\end{equation*}$$即$$E^hf(x)=\text{e}^{hD} f(x)$$我们得到$$D=\ln E$$这就是离散与连续的关系，多么简洁深刻。

kastin

cn8888 发表于 2014-8-4 12:39
前n项和的公式是:
\begin{equation*}\begin{split}
F(n)&=16\text{C}_{n}^1+47\text{C}_{n}^2+150\text{ ...

前`n`项和也是类似做法。
记`S(n)`为`f(n)`的前`n`项和，因为
`\Delta S(n)=S(n+1)-S(n)=f(n+1)`,`S(1)=f(1)`
根据2楼可知，`\Delta^5f(n+1)=0`，故`\Delta^5\Delta S(n)=\Delta^6 S(n)=0`
所以`\Delta^6 S(n)=0,\Delta^7 S(n)=0,\Delta^8 S(n)=0...`
利用上面的性质，并结合2楼的公式有$$\begin{align*}S(n)&=E^{n-1}S(1)=\sum_{i=0}^{n-1}\text{C}_{n-1}^i\Delta^iS(1)\\
&=C_{n-1}^0S(1)+C_{n-1}^1\Delta S(1)+C_{n-1}^2\Delta^2 S(1)+\cdots+C_{n-1}^4\Delta^5 S(1)+0+\cdots\\
&=C_{n-1}^0f(1)+C_{n-1}^1f(2)+C_{n-1}^2\Delta f(2)+\cdots+C_{n-1}^4\Delta^5f(2)\\
&=(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1)f(1)+C_{n-1}^1\Delta f(1)+C_{n-1}^2\Delta f(2)+\cdots+C_{n-1}^4\Delta^5f(2)\\
&=C_n^1f(1)+(C_{n-1}^1+C_{n-1}^2)\Delta f(1)+C_{n-1}^2\Delta^2 f(1)+\cdots+C_{n-1}^4\Delta^5f(2)\\&=\cdots\\
&=C_n^1f(1)+C_n^2\Delta f(1)+\cdots+C_n^5\Delta^4f(1)\\
&=\frac{3 n^5}{5}+\frac{3 n^4}{2}+n^3+n^2+\frac{119 n}{10}\end{align*}$$上述过程中用到了组合恒等式`C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k+1}=C_n^{k+1}`，以及差分的定义`\Delta^kf(1)=\Delta^{k-1}f(2)-\Delta^{k-1}f(1)`

282842712474

主要就是线性算子的运算，而且这些算子还满足交换律和结合律，所以就与数的运算无异。直接对算子进行运算，会让我们感觉到一种神奇的美。

这些算符的意思都是比较显然的，比如$E f(k)=(\Delta +I)f(k)$说的就是$f(k+1)=\Delta f(k) +f(k)=f(k+1)-f(k)+f(k)$，依次递推~~