动直线产生的曲面方程

fungarwai

求与三直线：
$\frac{x}{-2}=\frac{y-1}{0}=\frac{z}{1}$
$\frac{x-2}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$
$\frac{x}{2}=\frac{y+1}{0}=\frac{z}{1}$
相交的动直线产生的曲面方程

葡萄糖

7.设\(l_1\),\(l_2\),\(1_3\)是3条两两异面的直线，证明：所有和它们都共面的直线构成单叶双曲面或双曲抛物面，并指出何时构成单叶双曲面，何时构成双曲抛物面．
《解析几何》尤承业,北京大学出版社,2004,P.120

葡萄糖

葡萄糖 发表于 2014-8-5 17:33
7.设\(l_1\),\(l_2\),\(1_3\)是3条两两异面的直线，证明：所有和它们都共面的直线构成单叶双曲面或双曲抛物面，并指出何时构成单叶双曲面，何时构成双曲抛物面．
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kastin 发表于 2014-8-5 18:20
刚开始我也感觉是双曲面，但是没法证明。给一下答案啊~

证明:（1）说明构成二次曲面。记\(a = d({l_1},{l_2})\),
以\(l_1\)为\(z \)轴，\({l_1}\)与\({l_2}\)的公垂线为\(x\) 轴，建立如图所示的右手直角坐标系，
则\(l_1\)过原点\(O\)，与\((0,0,1)\)平行；\({l_2}\)过点\((a,0,0)\)，与\((0,1,k)\)平行；设\({l_3}\)过点\(({x_0},{y_0},{z_0})\)，与\((l,m,n)\)平行且两两异面。设直线过点\((x,y,z)\) 平行于\((X,Y,Z)\)，由条件知:
\[yX - xY = 0\]
\[(z - ky)X + k(x - a)Y - (x - a)Z = 0\]
\[ [m(z - {z_0}) - n(y - {y_0})]X + [n(x - {x_0}) - l(z - {z_0})]Y+ [l(y - {y_0}) - m(x - {x_0})]Z = 0\]
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  y&{ - x}&0 \\
  {z - ky}&{k(x - a)}&{a - x} \\
  {m(z - {z_0}) - n(y - {y_0})}&{n(x - {x_0}) - l(z - {z_0})}&{l(y - {y_0}) - m(x - {x_0})}
\end{array}} \right| = 0\]
第\(1\)行乘以\(k\)加到第\(2\)行，乘以\(n\)加到第\(3\)行得
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  y&{ - x}&0 \\
  z&{ - ka}&{a - x} \\
  {m(z - {z_0}) + n{y_0}}&{ - n{x_0} - l(z - {z_0})}&{l(y - {y_0}) - m(x - {x_0})}
\end{array}} \right| = 0\]
第\(2\)行乘以\(-m\)都加到第\(3\)行，
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  y&{ - x}&0 \\
  z&{ - ka}&{a - x} \\
  { - m{z_0} + n{y_0}}&{kma - n{x_0} - l(z - {z_0})}&{l(y - {y_0}) + m{x_0} - ma}
\end{array}} \right| = 0\]
计算可知，如果\(l \ne 0\),则有\(yz\)项，如果\(l = 0\),则有\(xz\)项，所以是直纹二次曲面。

fungarwai

答案要求$\frac{x^2}{4}+y^2-z^2=1$......