求解关于n!的阶的估计的几组不等式

ctchentong

第一组：

1. 证明：当 \(n\gt1\) 时，\(\D n!\lt\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\)

2. 证明：当 \(n\gt1\) 时，\(\D n!\lt\left(\frac{n+2}{\sqrt6}\right)^n\)

第二组：

3. 证明：当 \(n\geqslant6\) 时，\(\D\left(\frac n3\right)^n\lt n!\lt\left(\frac n2\right)^n\)

4. 证明：当 \(\D\left(\frac n e\right)^n\lt n!\lt e\left(\frac n2\right)^n\)

5. 证明：当 \(\D\left(\frac{n+1}e\right)^n\lt n!\lt e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}\)

第三组：

6. 证明：对任意实数 \(r\)，\(\D \left(\sum_{k=1}^n k^r\right)^n \geqslant n^n(n!)^r\)

Lwins_G

p6使用排序不等式即可。

liangbch

n！的近似值（或上下限）可以使用斯特林公式来求。关于斯特林公式请参阅wiki条目斯特林公式http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6 ... 7%E5%85%AC%E5%BC%8F。关于以上不等式可用wiki条目中《收敛速率和误差估计》那一节的内容来推出。

cn8888

liangbch 发表于 2014-8-13 10:08
n！的近似值（或上下限）可以使用斯特林公式来求。关于斯特林公式请参阅wiki条目斯特林公式http://zh.wikip ...

截断级数的误差等于第一个省略掉的项。这是渐近展开式的一个例子。它不是一个收敛级数
我很好奇为什么不是收敛级数

kastin

cn8888 发表于 2014-8-13 12:13
截断级数的误差等于第一个省略掉的项。这是渐近展开式的一个例子。它不是一个收敛级数
我很好奇为什么不 ...

渐近级数的定义就是这样的，你可以看一下摄动分析相关书籍。

这里说一下 收敛 与 渐近 在数学含义上不同：

1. “收敛”意味着，在收敛区间内，若将自变量固定为某个值 `x_0`，当级数项数 `n` 趋于无穷大时，级数的部分和与被展开的函数越来越接近，最后成为同一个函数；“渐近”则是说，固定渐近级数的展开项数 `N`，当自变量趋于被展开点 `x=a` 时，渐近级数的部分和无穷趋近于被展开的函数。

2. 收敛的级数其部分和与函数无限接近，本质上是余项 的绝对值 `|R_{N+1}(x)|` 无限趋于零（即绝对误差趋于零）；而渐近级数的部分和与函数渐近时，其绝对误差却可能非常大，但相对误差很小（即舍去的项与保留部分相比是一个高阶小量）——这就是渐近的含义。

3. 收敛级数展开项数在足够大时，其绝对误差在整体上趋于越来越小，直至趋于零；而渐近级数的的误差会随着渐近级数项数的增加而越来越大，直至趋于无穷大。不过，当项数固定，只要自变量 `x` 趋于展开点`a`时，其相对误差又会迅速减小。

上面的三个主要区别会让我们遇到这样的现象——只有当渐进级数取合适的项数（不能太大，也不能太小）时，在渐近点附近，其误差减小得最快；并且，有时候，同样项数的渐近级数比收敛级数误差减小得更快。

当然，如同级数展开一样，同一个函数的级数展开不是唯一的（选取不同的基函数就得到不同的无穷级数，比如傅里叶级数与幂级数不同，同样还可以用双曲三角函数作为基），渐近级数展开也不是唯一的，其逼近效果也不一样。这一点很容易理解——比如正弦函数 `sin(x)` 如果用幂级数展开，则是`x-x^3/3!+x^5/5!-\cdots`，这三项在原点附近能保证误差很小。但是如果基函数直接选取正弦或者余弦呢？只需要一项就能完全逼近！说明基函数选得好，对于函数逼近是有很好作用的，渐进展开也是如此。

上面的论述反映了一个道理：渐近级数不是全局适用的，而传统的收敛级数是全局适用的。也就是说，收敛级数是渐近级数的特例。

再来解释一下上面一句话。“渐近级数不是全局适用”，意思是说，虽然渐近级数在被展开点附近收敛得非常快，但是如果自变量取值离该点很远，那么其误差就会很大，哪怕增加再多项误差也不会减小很多（更常见的情况是，误差反而越来越大！）。因此若想要精度比较高，则需要重新在新的点处推导渐近级数，这时其结果可能与之前的完全不同。

"收敛级数是全局适用的"指的是，无论怎么改变自变量的值，只要在收敛区间内，我们都可以通过增加足够的项来达到想要的精度要求，而不用重新展开。