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[求助] 关于这个微分方程的求解

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发表于 2014-8-18 11:46:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在学习椭圆积分的时候遇到了这样一个微分方程:
\[\frac{\dif x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\dif y}{\sqrt{1-y^4}}\]
书中直接给出了一个解:
\[x=-\sqrt{\frac{1-y^2}{1+y^2}}\]
也就是:
\[x^2+y^2+x^2y^2=1\]
但是不明白是怎么解出来的,求大神赐教!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-8-18 12:51:23 | 显示全部楼层
思路过程:

1) 变量已经分离了啊,直接积分呗.

2) 直接积分 \(\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 不可行,就变量代换吧,
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 楼主| 发表于 2014-8-18 12:57:03 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2014-8-18 12:51
变量已经分离了啊,直接积分呗:

有原函数吗,求公式。。。表示没找到啊
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发表于 2014-8-18 13:30:42 | 显示全部楼层
无心得而鬼神服 发表于 2014-8-18 12:57
有原函数吗,求公式。。。表示没找到啊

有点诡异,可能要结合椭圆积分的性质
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发表于 2014-8-19 08:37:09 | 显示全部楼层
根据椭圆积分的加法公式,取最特殊的解,好像可以得到一个比较简单的解,但不知道是不是楼主的解。
http://zh.wikipedia.org/zh/%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%A7%AF%E5%88%86
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201422111572376/

问题是,一旦涉及到椭圆积分,求解过程就已经不初等了...

点评

Zuijianqiugen是我们论坛的一个账号  发表于 2014-8-19 14:17
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发表于 2014-8-19 20:23:03 | 显示全部楼层
最后的解$x^2+y^2+x^2 y^2=1$可以写成$(x^2+1)(y^2+1)=2$,试试$x=\sinh u,y=\sinh v$?这样子$\cosh^2 u\cosh^2 v=2$,唉,好像也不简单。
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发表于 2014-8-20 08:12:41 | 显示全部楼层
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html
可以把微分方程变换成链接中 (6) 式的一个积分表达,该积分 等于一个积分常数$C $ ,  上下限大概就是$1/2(\pi/2-x)$,$1/2(\pi/2-y)$,$k=2$,
然后选择合适的积分常数,使得该表达式能够 退化成 一个 多项式的表达,如何选择呢?这里可以结合积分的物理意义,即单摆的周期来选择。
比如单摆在 四个区间的对称性...
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发表于 2014-8-20 11:38:46 | 显示全部楼层
可以把方程看成一个动力系统:
$$\begin{cases}\D\frac{\dif x}{\dif t}=\sqrt{1-x^4}\\\\
\D\frac{\dif y}{\dif t}=\sqrt{1-y^4}\end{cases}$$
方程`F(x,y)=0`就是上述系统的相轨迹。然后找到某种参数解(形式解即可,不一定非要是初等函数表达),根据相关关系进行消参,便得到相应的轨迹方程。不过感觉这还是可能会用到椭圆积分函数。。。但是一种思路。

或者,可以将1楼的方程右端移到左端,看成某个全微分的部分因子,因此可以考虑同时乘以一个合适的积分因子`N(x,y)`,便能化成某个函数`G(x,y)`的全微分$$\dif G=N(x,y)\frac{\dif x}{\sqrt{1-x^4}}-N(x,y)\frac{\dif y}{\sqrt{1-y^4}}=\frac{\partial G}{\partial x}\dif x+\frac{\partial G}{\partial y}\dif y=0$$
于是`F(x,y)=\dif G/N(x,y)`
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 楼主| 发表于 2014-8-20 17:58:52 | 显示全部楼层
在椭圆积分的早期研究中,就是通过对这一类的微分方程求积分,才得出的椭圆积分的加法公式吧,现在如果通过椭圆积分的加法公式来解这个方程,貌似有点不妥啊。
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发表于 2014-9-5 14:53:29 | 显示全部楼层
方程 `\D \frac{2x\sqrt{1-x^4}}{1+x^4}=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}` 除了蕴含 `x=y` 的可能之外,是否能化简为1楼给出的解?
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