关于这个微分方程的求解

无心得而鬼神服

在学习椭圆积分的时候遇到了这样一个微分方程：
\[\frac{\dif x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{\dif y}{\sqrt{1-y^4}}\]
书中直接给出了一个解：
\[x=-\sqrt{\frac{1-y^2}{1+y^2}}\]
也就是：
\[x^2+y^2+x^2y^2=1\]
但是不明白是怎么解出来的，求大神赐教！

wayne

思路过程:

1) 变量已经分离了啊，直接积分呗.

2) 直接积分 \(\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 不可行，就变量代换吧，

无心得而鬼神服

wayne 发表于 2014-8-18 12:51
变量已经分离了啊，直接积分呗：

有原函数吗，求公式。。。表示没找到啊

wayne

无心得而鬼神服 发表于 2014-8-18 12:57
有原函数吗，求公式。。。表示没找到啊

有点诡异，可能要结合椭圆积分的性质

282842712474

根据椭圆积分的加法公式，取最特殊的解，好像可以得到一个比较简单的解，但不知道是不是楼主的解。
http://zh.wikipedia.org/zh/%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%A7%AF%E5%88%86
http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 062201422111572376/

问题是，一旦涉及到椭圆积分，求解过程就已经不初等了...

282842712474

最后的解$x^2+y^2+x^2 y^2=1$可以写成$(x^2+1)(y^2+1)=2$，试试$x=\sinh u,y=\sinh v$？这样子$\cosh^2 u\cosh^2 v=2$，唉，好像也不简单。

wayne

http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html
可以把微分方程变换成链接中 (6) 式的一个积分表达，该积分 等于一个积分常数$C $ ,  上下限大概就是$1/2(\pi/2-x)$,$1/2(\pi/2-y)$，$k=2$，
然后选择合适的积分常数，使得该表达式能够 退化成 一个 多项式的表达，如何选择呢？这里可以结合积分的物理意义，即单摆的周期来选择。
比如单摆在 四个区间的对称性...

kastin

可以把方程看成一个动力系统：
$$\begin{cases}\D\frac{\dif x}{\dif t}=\sqrt{1-x^4}\\\\
\D\frac{\dif y}{\dif t}=\sqrt{1-y^4}\end{cases}$$
方程`F(x,y)=0`就是上述系统的相轨迹。然后找到某种参数解（形式解即可，不一定非要是初等函数表达），根据相关关系进行消参，便得到相应的轨迹方程。不过感觉这还是可能会用到椭圆积分函数。。。但是一种思路。

或者，可以将1楼的方程右端移到左端，看成某个全微分的部分因子，因此可以考虑同时乘以一个合适的积分因子`N(x,y)`，便能化成某个函数`G(x,y)`的全微分$$\dif G=N(x,y)\frac{\dif x}{\sqrt{1-x^4}}-N(x,y)\frac{\dif y}{\sqrt{1-y^4}}=\frac{\partial G}{\partial x}\dif x+\frac{\partial G}{\partial y}\dif y=0$$
于是`F(x,y)=\dif G/N(x,y)`

无心得而鬼神服

在椭圆积分的早期研究中，就是通过对这一类的微分方程求积分，才得出的椭圆积分的加法公式吧，现在如果通过椭圆积分的加法公式来解这个方程，貌似有点不妥啊。

kastin

方程 `\D \frac{2x\sqrt{1-x^4}}{1+x^4}=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}` 除了蕴含 `x=y` 的可能之外，是否能化简为1楼给出的解？