求解轨迹问题两例

ctchentong

求解下面问题所要求的轨迹形态及方程：
1、求一曲线，使得从定点 0 以任意速度水平射出的小球（不计体积、重量）都垂直打在该曲面上。
2、已知抛物线 2py=x^2，有一半径为 r（r≤p） 的小球从抛物线内侧滚过，求圆心的轨迹方程。

倪举鹏

第一问有问题吧，不计重力后，小球成直线运动，第二问先求法单位向量   长短为r     这太简单了

zeroieme

倪举鹏 发表于 2014-8-20 11:00
第一问有问题吧，不计重力后，小球成直线运动，第二问先求法单位向量   长短为r     这太简单了

那么，就是以O为圆心的圆（2D）/以O为球心的球(3D)

无心得而鬼神服

小球在重力作用下做抛物运动，轨迹是抛物线，但是初速度可以不同，所以，所有可能的轨迹是一个抛物线族，问题相当于问，与一族抛物线都正交的曲线族是什么？这是很简单的。
首先，设抛物线族的方程为：\(y=kx^2\)，则斜率为：\(\frac{dy}{dx}=2kx = 2x*\frac{y}{x^2}=2\frac{y}{x}\)
设所求的曲线的斜率为\(y'\)，由正交知，两者斜率之积为-1，可得：\(y'*2\frac{y}{x}=-1\)
解得：\(y^2+\frac{x^2}{2}=C\)

无心得而鬼神服

至于第二题，也并没有本质上的困难，只要不怕麻烦，细心一点，应该很容易的

ctchentong

倪举鹏 发表于 2014-8-20 11:00
第一问有问题吧，不计重力后，小球成直线运动，第二问先求法单位向量   长短为r     这太简单了

对不起，这个是有问题，应该计重力

葡萄糖

原本我想在数学欣赏里发帖的！
没想到有人先问了！算了！帮人帮到底，送人送到家！帮你解决好了！
第二题：
2、已知抛物线\(2py=x^2\)，有一半径为\(\color{green}{r}(r≤p)\) 的圆从抛物线内侧滚过，求圆心的轨迹方程。

针对这题首先要有预见性，得到转换思想(即逆向思维)。
这是半径为定值\(r_0\)，圆心在抛物线上运动的圆的包络线：
半径为定值的圆，圆心在抛物线运动，其包络线
可以令\(r_0=\color{green}{r}\)，所解得包络线\(M\)其实就是圆心的轨迹方程。
一半径为\(\color{green}{r}(r≤p)\) 的圆，圆心在包络线\(M\)上运动，其单侧包络线为抛物线。

一半径为\(\color{green}{r}(r≤p)\) 的圆，圆心在抛物线上运动，其单侧包络线为包络线\(M\)。

另外介绍一个性质：
平行曲线：
http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_curve
其实，生活中到处都是例子！钉耙在田里耙土时所画出的曲线系、汽车两轮留在地面的轨迹、摆线系……

Involutes are Parallel(同一曲线的渐开线都是平行的)
如：
http://en.wikipedia.org/wiki/Evolute


想必你是为中学生吧！
建议你不要在题目中出现“小”“好”“超级”这类字眼，在数学中一般没有怎么文学的辞藻，取而代之的是理性的诗歌！
建议学习一下LaTex，这样有助于编辑、阅读……(*^__^*) 嘻嘻……

葡萄糖

zeroieme 发表于 2014-8-20 12:13
那么，就是以O为圆心的圆（2D）/以O为球心的球(3D)

The Curve Parallel to a Parabola Is Not a Parabola Parallel Curves
http://wenku.baidu.com/view/4e88735177232f60ddcca1e7?fr=prin
这是麻省理工大学的微分几何课件：
其中有一个图就是：半径固定，球心在抛物线上运动，球的包络面方程。(3D)

http://web.mit.edu/hyperbook/Pat ... wa-Cho/node237.html
记得很早之前就有到题：问刚球(不发生形变的球)作斜抛运动，在空中运动的扫过的体积。
就是球的包络面所围的体积(可积)加上两个半球(即一个球)的体积。
其中应注意：
(多余的部分)

ctchentong

葡萄糖 发表于 2014-8-24 12:00
The Curve Parallel to a Parabola Is Not a Parabola Parallel Curves
http://wenku.baidu.com/view/4e ...

非常感谢你提供的资料和论证！！！受益匪浅！
还有以后我会注意语言上的表述的，多谢指正！
这个问题是我中学的时候想到的，一直没得到解决，才来论坛上请教大家了，我现在已经大一了~