行列式的概念是怎么来的呢?为什么会想起来那样计算行列式呢?

cn8888

行列式的概念是怎么来的呢?为什么会想起来那样计算行列式呢?
很好奇

kastin

这个问题可能要涉及到线性代数、矢量分析相关的发展史了。
光从英文名称determinant可以看出，行列式最开始是用于判定一个问题的类型的。
比如线性方程组的系数矩阵判别根存在与否以及个数；微分方程组通过特征矩阵进行类型判定（椭圆、双曲、抛物、混合）。至于二到四次代数方程的求解公式中出现的判别式，英文也是这个名词，不过翻译成中文就不再是“行列式”了，这个跟代数数论中相关概念有关。

282842712474

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dianyancao

表示线性方程组的符号解用行列式比较方便
二阶行列式\(D=|A|\)可以表示单位正方形经过矩阵\(A\)变换后的面积
当这个面积为0时，会将原单位正方形退化成点或线

cn8888

我就是好奇为什么想到那样计算行列式??????????????

kastin

cn8888 发表于 2014-8-25 08:48
我就是好奇为什么想到那样计算行列式??????????????

行列式的几何意义比较明显：行列式对应的矩阵表达的是线性空间中的一组变换，而该行列式的值恰好就给出了数学对象的“容积”在变换前后的缩放系数。通常，这种变换矩阵被称作雅克比矩阵。

现在问题是，行列式为什么会偏偏要按那种规则计算，难道是数学家们突发奇想的创作？显然不是。说起来，这跟向量的乘积有关了。（据说，最开始，数学家本来是都用“矢量”这个名词，而物理学家都是用“向量”。后来双方为了互相尊重，便沿用对方的习惯——数学家们用“向量”，而物理学家用“矢量”。然后，一直沿用保持至今。我想问的是，为啥他们不统一一下称呼呢？）

向量的加法减法，标量与向量的乘除法都有很自然很符合直觉的定义，可是两个向量之间的乘积却有两种：矢量积（即叉乘，外积）与标量积（即点乘，内积）。为什么会产生两种乘积呢？下面有几种解释。

由于最开始人们是用复数来表示向量的，若记 `\vec{a}=a_x+ia_y`, `\vec{b}=b_x+ib_y`，则 $$\vec{a}\vec{b}=(\vec{a}\times\vec{b})+i(\vec{a}\cdot\vec{b})$$这个式子两边取模，就能得到著名的拉格朗日恒等式$$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2=|\vec{a}\times\vec{b}|^2+|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2$$（这就是丢番图恒等式的来源）显然，实部和虚部分别是两种乘积。

另外，我们也可以从更高维的四元数乘法中看出一些端倪。不过，这种解释只能算是事后解释。更准确的解释应该是，矢量之间不存在除法运算（或者说矢量除法运算结果不具有唯一性）。因为一旦定义了两种乘积，那么矢量的“除法”计算可以有唯一性：
若向量 `\vec{a}` 和向量 `\vec{b}` 满足$$\begin{cases}\vec{a}\*\vec{b}=\vec{c}\\
\vec{a}\times\vec{b}=\vec{d}\end{cases}$$那么有$$\vec{b}=\frac{\vec{a}(\vec{a}\*\vec{b})-\vec{a}\times(\vec{a}\times\vec{b})}{\vec{a}\*\vec{a}}=\frac{\vec{a}|\vec{c}|-\vec{a}\times\vec{d}}{\vec{a}\*\vec{a}}$$特别地，若 `\vec{c}=\vec{0}`，即 `\vec{a}\perp\vec{b}` 时，$$\vec{a}=\frac{\vec{d}}{\vec{b}}=\frac{\vec{b}\times\vec{d}}{\vec{b}\*\vec{b}},\quad\vec{b}=\frac{\vec{d}}{\vec{a}}=\frac{\vec{d}\times\vec{a}}{\vec{a}\*\vec{a}}$$

既然两个向量之间有两种乘积定义，那么三个向量的乘法也会出现两种：二重积（结果是矢量）和混合积（结果是标量）。

对于二重积，同样有雅克比恒等式，其广义形式是 `[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0`

这个括号是一个二元算子，满足双线性、反对称性质。因此，这个算子可以是泊松括号，李括号，矢量外积，等等。前面两个算子分别用在分析力学中的哈密顿系统以及李代数领域。很明显，矢量外积满足线性性质，反对称性质（交换位置后结果反号），故二重积也有对应的雅克比恒等式$$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})+\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{a})+\vec{c}\times(\vec{a}\times\vec{b})=0$$

而行列式的值就是向量的混合积。n个向量之间的混合积比如一个n阶方阵，就是相应列向量（或者行向量）的混合积——也等于这些向量作为基所张开的空间体积。

因此可以说，行列式的计算规则本质上是基于向量的乘法定义。

补充：
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关于混合积的两个恒等式

若记 `<\vec{a},\vec{b},\vec{c}>=\vec{a}\*(\vec{b}\times\vec{c})`，也有类似于雅克比恒等式的结论 `<a,b,c>=<b,c,a>=<c,a,b>`

回忆线性代数中的线性方程 `A\vec{x}=\vec{r}`，约定向量均用列向量表示 `x=(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)^{\rm T}，\vec{r}=(r_1,r_2,r_3,\ldots,r_n)^{\rm T}`，那么方阵 `A` 可写成列向量的行排列 `A=(\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\ldots,\vec{a_n})`，其中 ` \vec{a_i}=(m_{i1},m_{i2},m_{i3},\ldots,m_{in})^{\rm T}` 。因此线性方程 `A\vec{x}=\vec{r}` 可以写成矢量的内积形式：$$\vec{A}\*\vec{x}=x_1\vec{a_1}+x_2\vec{a_2}+\cdots+x_n\vec{a_n}=\vec{r}$$根据克莱姆法则，将向量`\vec{r}`依次取代方阵 `A` 中的各列 `\vec{a_1},\vec{a_2},\ldots,\vec{a_n}`所构成 `n` 个新的方阵，将这 `n` 个新方阵的行列式除以 `|A|`，得到的就是 `\vec{x}` 中的各个元素。

因此我们可以得到一个新的恒等式：
对于任意 `n` 维向量 `\vec{a_i}` 和 `\vec{r}`，有$$<\vec{r},\vec{a_2},\vec{a_3},\ldots,\vec{a_n}>\vec{a_1}+<\vec{a_1},\vec{r},\vec{a_3},\ldots,\vec{a_n}>\vec{a_2}+\cdots+<\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\ldots,\vec{r}>\vec{a_n}=<\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},\ldots,\vec{a_n}>\vec{r}$$

补充内容 (2014-8-28 09:23):
$\bar{\vec{a}}\vec{b}=\vec{a}\*\vec{b}+i { \vec{a} \times \vec{b} }$，前面的`a`是取共轭，后面花括号是取数值，忽略方向。