已知`f(f(x))=x^2+x`，求`f(x)`的解析式

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设$g(x)=x+x^2$,我们可以把问题分成两部分，分别求$x>=0$和$x<=0$的解
先看$x>=0$部分，我们知道在这个区间$g(x)$单调增，我们取
$u_0=1,u_1=2=g(u_0),...,u_n=g(u_{n-1})$
同样，这$x>=0$上，存在唯一$u_{-1}$使得$g(u_{-1})=g(u_0)$,
同样有唯一的$u_{-2},u_{-3},...$使得$g(u_{-n+1})=g(u_{-n})$
我们如果记$g^{(k)}(x)$为g迭代k次，而k<0时代表用其逆函数迭代k次，于是$u_k=g^{(k)}(1)$
现在任意选择c使得$1<c<2$
我们选择一个连续单调增函数$s(x):[1,c]->[c,2]$,比如选择$s(x)={2-c}/{c-1}(x-1)+c$
然后我们可以定义区间$[c,2]$上函数$s(x):[c,2]->[2,g(c)]$为$s(x)=g(s^-1(x))$
由此我们可以定义了$[1,2]->[c,g(c)]$上单调连续函数s(但是有一个点x=c处可能不可导)
然后对于任意$x>0$,必然存在$k$使得$u_k<=x<u_{k+1}$,
于是我们定义$f(x)= g^{(k)}(s(g^{(-k)}(x)))$
显然这个定义的f在$x>0$时是满足条件的.
同样，对于$-1/2<=x<0$同样可以类似定义好单调的f，而f(0)=0
于是我们对于$x>=-1/2$全部定义好f(x)
而对于$x<-1/2$,我们只要定义$f(x)=f^-1(g(x)),x<-1/2$