请教大家一个阶的估计问题

ctchentong

由积分第一中值定理：\(\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\dif x =\sin^n {\xi_n}\int_0^{\frac\pi2}\dif x=\frac\pi2\*\sin^n\xi_n\)
容易证明当 \(n\to\infty\) 时，\(\sin\xi_n\to1\)，即 \(\sin\xi_n-1\to0\)，
请估计 \(\sin\xi_n-1\) 的阶（求一正数 \(\alpha\)，使得 \(\sin\xi_n-1=O\left(\frac1{n^\alpha}\right)\)）。

282842712474

求的是(\(n\)是偶数）
\[\sqrt[n]{\frac{n-1}{n} . \frac{n-3}{n-2} . \dots \frac{3}{4} .\frac{1}{2}}-1\]

无心得而鬼神服

设\(J_n=\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\dif x\)，易知：
当\(n\)为奇数时，\(J_n=\frac{n-1}{n} . \frac{n-3}{n-2} . \dots \frac{4}{5} .\frac{2}{3}\)
当\(n\)为偶数时，\(J_n=\frac{n-1}{n} . \frac{n-3}{n-2} . \dots \frac{3}{4} .\frac{1}{2}.\frac\pi2\)
所以有：\(J_n *J_{n+1}=\frac\pi2*\frac{1}{n+1}\)，无论\(n\)是奇数还是偶数都成立。
因为\(J_n\)随着\(n\)增大而趋于0（这一点可以通过将\(J_n\)展开成连乘的形式而看出），所以，设\(J_{2n}=O\left(\frac1{n^\alpha}\right)\)，
\(J_{2n+1}=O\left(\frac1{n^\beta}\right)\)，假设\(\alpha>\beta\)，因为\(J_{2n+1} < J_{2n} < J_{2n-1}\)，所以\(J_{2n+1}.n^\alpha \lt J_{2n}.n^\alpha \lt J_{2n-1}.n^\alpha\)，
而\( J_{2n}.n^\alpha\)趋于常数，\(J_{2n-1}.n^\alpha=J_{2n-1}.n^\beta.n^{\alpha-\beta}\)，\(J_{2n-1}.n^\beta\)也趋于常数，而\(n^{\alpha-\beta}\)可以无限大，所以\(J_{2n}.n^\alpha \lt J_{2n-1}.n^\alpha\)不能恒成立，所以\(\alpha>\beta\)是不正确的，同理，\(\alpha<\beta\)也是不成立的，所以\(\alpha=\beta\)。也就是说，\(J_{2n}\)，\(J_{2n+1}\)的阶是相等的。
又因为\(J_n *J_{n+1}=\frac\pi2*\frac{1}{n+1}\)，所以\(J_n=O(\frac{1}{(n+1)^{\frac{1}{2}}})\)，原题要求的其实就是\(\sqrt[n]{J_n}-1\)的阶，经过简单的级数展开和计算，易知阶为：\(O(\frac{1}{n^2})\)

无心得而鬼神服

我们可以换个角度来考虑，直观上看来，当\(n\)很大时，在\(x=\frac\pi2\)附近的函数贡献了积分值的绝大部分，所以可以只考虑在\(x=\frac\pi2\)附近的一个很小的区间上的积分，这和完整的积分相差无几。
在\(x=\frac\pi2\)附近，有\(\sin(x)=\sin(\frac\pi2-y)=\cos y\approx1-\frac{y^2}{2}\)，从这个角度出发，是不是能够得出结果呢？我现在很困，脑子糊涂，不想思考，坐等答案。。。

282842712474

282842712474 发表于 2014-8-29 08:58
求的是(\(n\)是偶数）
\[\sqrt[n]{\frac{n-1}{n} . \frac{n-3}{n-2} . \dots \frac{3}{4} .\frac{1}{2}}-1 ...

下面的记号可能不大严谨，但应该能理解

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n-1}{n} . \frac{n-3}{n-2} . \dots \frac{3}{4} .\frac{1}{2}}-1=\frac{k}{n^x}\]
那么（根据极限的定义，多取一两项结果是一样的）
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{ \frac{n-3}{n-2} . \dots \frac{3}{4} .\frac{1}{2}}-1=\frac{k}{n^x}\]
这样子要求
\[\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n^x}=\left[\left(1-\frac{1}{n}\right)  \left(1+\frac{k}{n^x}\right)\right]^{1/n}-1\]
因此只能够x=2了。因为x=1不行，x>1，那么方括号里边的主要阶就是$1-\frac{1}{n}$，开n次方得到x=2,k=-1。如果x<1，方括号主要阶就是$1+\frac{k}{n^x}$，开n次方得到$x+1=x$，矛盾。

ctchentong

无心得而鬼神服 发表于 2014-8-29 22:47
设\(J_n=\int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\dif x\)，易知：
当\(n\)为奇数时，\(J_n=\frac{n-1}{n} . \frac{n-3 ...

（抱歉我不会用LATEX...）
虽然我还不怎么理解你是怎么“经过简单的级数展开和计算，易知阶为：O(1/n^2)”的，但是用这个结果验算的话不对诶，因为 Jn 是趋近于0的，但是这里却趋近于1. 而且可以估计出要求的 α 肯定是在（0,1）中的

ctchentong

282842712474 发表于 2014-8-29 23:20
下面的记号可能不大严谨，但应该能理解

\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n-1}{n} . \frac{n-3}{n-2 ...

但是验算下来不对啊：

wayne

ctchentong 发表于 2014-8-30 00:10
但是验算下来不对啊：

无心得而鬼神服

ctchentong 发表于 2014-8-30 00:10
但是验算下来不对啊：

虽然\(e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\)，但是请注意，这儿n是正的，所以1/n也是正的，并没有\(e=\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^n\)

kastin

首先，`n\to\oo` 时，积分中值定理未必仍然成立。即使仍然成立，`\sin\xi_n\to1` 如何得到？
无论是从函数 `f(x)=(\sin x)^n` 的图像还是直接对结果进行极限分析，$$\D \lim_{n\to\oo} \int_0^{\frac\pi2}\sin^n x\dif x \to 0$$

因为 `\D\lim_{n\to\oo} \frac{(n-1)!!}{n!!}=\lim_{n\to\oo}\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2}=0`