x^3+y^3=z^3+w^3的一个解

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\[\left\{\begin{aligned}x&=\frac{a^3 (c+d)-3 a^2 b c+3 a b^2 c+b^3 (d-2 c)-\left(c^2-c d+d^2\right)^2}{3 b c-3 a d}\\[2ex]
y&=\frac{a^3 (c-2 d)+3 a^2 b d-3 a b^2 d+b^3 (c+d)-\left(c^2-c d+d^2\right)^2}{3 a d-3 b c}\\[2ex]
z&=\frac{a^4-2 a^3 b+3 a^2 b^2-a \left(2 b^3+c^3+d^3\right)+b \left(b^3+2 c^3-3 c^2 d+3 c d^2-d^3\right)}{3 a d-3 b c}\\[2ex]
w&=\frac{-a^4+2 a^3 b-3 a^2 b^2+a \left(2 b^3+c^3-3 c^2 d+3 c d^2-2 d^3\right)+b \left(-b^3+c^3+d^3\right)}{3 a d-3 b c}
\end{aligned}\right.\]

用Eisenstein整数借助mathematica导出的，不知道是否完全？哪位有兴趣检验一下？（\(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\)）

保留分数是因为分母可能是分子的约数。

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其中\(a=-1,b=-2,c=3,d=3\)时，给出\(x=9,y=-12,z=1,w=-10\)，也就是\(1^3+12^3=9^3+10^3\)，这是最小的整数解。


以前也有类似的参数解，但实际上是有理解，其缺点是\(x,y,z,w\)是整数时，参数不一定是整数。请看《哈代数论》第13章：

以及
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html

而上述解似乎在让\(a,b,c,d\)遍历整数时，取均为整数的\(x,y,z,w\)，就可以得到所有的整数解？