最近挺火的\(f(f(x))=x^2+x\)，求\(f(x)\)

葡萄糖

这些问题与Iterated function(迭代函数),Functional square root(函数平方根),half iterate(半迭代)有关
http://tieba.baidu.com/p/3260085237?share=9105&fr=share
一开始，一篇在华中科技大学吧发表于2014-08-28 02:35名叫《我就是解了一下那个\(f(f(x))=x^2+x\)的问题而已》的帖子成了引玉之砖
于是，贴吧便热议起来！
http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_square_root
http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_function

《When is \(f(f(z)) = az^2 + bz + c\)?》The American Mathematical Monthly Apr. 1980
http://www.yaroslavvb.com/papers/rice-when.pdf

How to solve \(f(f(x)) = \cos(x)\) ?
http://mathoverflow.net/questions/17605/how-to-solve-ffx-cosx

原来函数也是有平方根的
http://www.matrix67.com/blog/archives/3951

half iterate of \(x^2+c\)
http://math.stackexchange.com/qu ... f-x2c/209653#209653

zhouguang

这或许是这个问题的一个特例，即有理函数对于迭代是封闭的：
如果f(f(x))是有理函数，那么，f(x)也是有理函数。
如果f[n](x)是有理函数，那么，f(x)也是有理函数。
注：有理函数是指形如(ax+b)/(cx+d)的函数。

zhouguang

比如说：函数1/x的平方根是(ix+1)/(x+i)，大家可以尝试求一下1/(x+1)的平方根和五次方根。呵呵。

mathe

zhouguang 发表于 2014-9-7 22:00
这或许是这个问题的一个特例，即有理函数对于迭代是封闭的：
如果f(f(x))是有理函数，那么，f(x)也是有理 ...

这个叫分数线性函数比较好

zhouguang

mathe 发表于 2014-9-8 08:28
这个叫分数线性函数比较好

mathe说的对，是我弄混了，的确应叫做分数线性函数。

zeus

zhouguang

To zeus的7层:
发现了么？求1/(x+1)的五次方根 和 求矩阵{{0, 1}, {1, 1}}的五次方根（即：MatrixPower[{{0, 1}, {1, 1}}, 1/5]）是一回事的。呵呵。
连分数 和 {{0, 1}, {1, ai}}连乘或许也有联系……
总之，分数线性函数的迭代 和 矩阵SL2的连乘 是 相互对应的。对于其他类型的函数，如果认为“算符”和“矩阵” 是 对应的，那么，“函数迭代”和“矩阵乘法”是对应的。而，对于矩阵的开方，我们是有本征值的方法的。这样问题或许就从另一个角度相互关联了。当然，如果从群的视角看“矩阵”，也没人拦着。
此外，分数线性函数和矩阵SL2的关联，正是模函数研究的起点。呵呵，胡说几句。

葡萄糖

@kastin
"Racine" d'une fonction(函数平方根)
radical of function(函数平方根)：
http://aesculier.fr/fichiersMaple/racine_de_f/racine_de_f.html

这里所给的函数，有些好像不连续



To live is to function!正解：活着就要发挥作用！
误译：活着就是为了函数！