Rope skipping curve

葡萄糖

求旋转中的跳绳的曲线方程。(PS:忽略跳绳所绕的轴的上下运动)

倪举鹏

我有兴趣算   毕竟各个高度“重力”不同   变分法最好考虑  势能最小

wayne

这应该就是 悬链线 吧 （刚性绳子）

kastin

应该是悬链线。
首先初始时刻，绳子应该是在铅垂面内的悬链线；
当挥动跳绳的时候，近似看成是绳子整体绕左手-右手轴进行圆周运动，此时惯性加速度远大于重力加速度，可以忽略重力作用。这时候绳子是平面曲线，其惯性加速度就在该平面内，可视为“重力加速度”。因此在空中任何角度，绳子都是该平面内的悬链线。

kastin

应该这样简化一下。
1. 绳为柔性不可伸长的。因为，如果是塑性或弹塑性的话，绳子在加速运动过程中容易出现拉伸变形，且在不同位置有不同程度残余应变，每时每刻绳子的位形都在变。
2. 为简化起见，假设绳子是质量均匀分布的。
3. 跳绳过程中，双手简化为一个固定的水平轴（即双手不会上下摆动）。
4. 绳子绕轴旋转的角速度很大（角加速度可以不为零）。
5. 空气阻力忽略。

在上述假设条件下，因为角速度很大，因而向心加速度很大（以非惯性系观点说，惯性离心加速度很大）。相比而言，重力影响可忽略。这时绳子内部的张力非常大，在径向上处于一种动态平衡。根据理论力学中的刚化原理，在径向可认为是绳索是刚体。
此时，若还有角加速度，那么相应就会有惯性力偶矩产生，这时绳子会候受到惯性力偶矩的作用。事实上，这里的惯性力偶矩不是分布力偶矩，因为它来自于人的双手（轴）的激励作用。假若绳索在切向也是刚化的（那么绳子完全就是一个刚体了），这时作用在轴处的力矩，其产生的作用会平行传递到绳子各点（因为同一刚体上的力矩可以随处移动而不改变其运动状态）——这样，各点的角速度就增大了。事实上，绳子在切向方向不是刚性的（除非角加速度为零），因此在力偶矩的作用下绳子会发生变形。但由于惯性力偶i矩作用在轴处，因此只是轴附近（即手附近）的绳索被扭曲；绳索其他地方由于惯性，仍然保持原先的运动状态（在一个平面内）。因此，忽略轴附近的影响，在上述假设下，绳子可以近似看成是一个平面曲线，忽略重力，其惯性离心力就等效为一个“重力场”，这个“重力场”时时刻刻在旋转，但是保持与绳子同步。故绳子相当于一个运动的悬链线。

其实，根据现实观察及个人经验可知，当以不太快的速度挥动跳绳的时候，绳子在空中明显不是一个平面曲线。一般来说，绳索离手臂越远的地方，其相位略“延迟”于靠手臂近的绳索相位。进一步，当速度较慢的时候，重力的作用就体现出来了——绳子容易出现塌软，甚至挥不过头顶；即使过了头顶，绳子也会在手的牵制下做约束抛体运动。

另一方面，当挥动跳绳速度非常快的时候，绳索几乎刚化，但是由于速度太快，微小变化用肉眼难以察觉（除非使用高速摄影机）。事实上，由于人难以保证双手固定为一个轴，并且一般都是在上升过程中发力（产生角加速度）；由于很高的线速度（因为角速度大）情况下，空气阻力也会很大（根据空气动力学，阻力与物体截面积乘以速度平方成正比），各个位置处的阻力也不尽相同——因此绳索并不是一个平面曲线，而是一个稍微有弯曲的平面曲线，其形状难以用显式公式给出。

倪举鹏

方程是求不出的   像椭圆函数    只有数值解

倪举鹏

怎么哪里都有我，我怎么做过这个，完全不记得了，今天用的另外一种方法列的方程不一样，不知道结果是不是一样

282842712474

不是悬链线，是椭圆积分

kastin

Mohazzabi, P., & Schmidt, J. R. (1999). Profile of a rotating string. Canadian Journal of Physics, 77(7), 505–513.
Nordmark, A., & Essén, H. (2007). The skipping rope curve. European Journal of Physics, 28(2), 241–247.
无无空气阻力、不考虑重力（或者角速度非常大）的情况下，跳绳形状可以表示为雅克比椭圆函数，其形状与悬链线相比，最低对称点位置比悬链线更为突出，而其他位置更加靠近旋转轴。

考虑空气阻力，显然不再是一个平面曲线，而是远离旋转轴位置的绳子会稍滞后（线速度越大，阻力越大），见 Aristoff Jeffrey M. and Stone Howard A. The aerodynamics of jumping rope. Proc. R. Soc. A 468.

yinhow

当时的一些算稿