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[原创] Rope skipping curve

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发表于 2014-9-14 19:45:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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Rope skipping.jpg
求旋转中的跳绳的曲线方程。(PS:忽略跳绳所绕的轴的上下运动)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-14 20:40:50 | 显示全部楼层
我有兴趣算   毕竟各个高度“重力”不同   变分法最好考虑  势能最小

点评

感觉这不是悬链线..........O(∩_∩)O~  发表于 2014-9-14 20:45
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发表于 2014-9-14 21:06:09 | 显示全部楼层
这应该就是 悬链线 吧 (刚性绳子)

点评

不是 离心力与重力不同  发表于 2014-9-14 21:13
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发表于 2014-9-14 22:49:02 | 显示全部楼层
应该是悬链线。
首先初始时刻,绳子应该是在铅垂面内的悬链线;
当挥动跳绳的时候,近似看成是绳子整体绕左手-右手轴进行圆周运动,此时惯性加速度远大于重力加速度,可以忽略重力作用。这时候绳子是平面曲线,其惯性加速度就在该平面内,可视为“重力加速度”。因此在空中任何角度,绳子都是该平面内的悬链线。

点评

@BeerRabbit,是的,离心加速度是线性的。普通悬链线有两个要求:重力是均匀的,悬链线水平分力相等,链质量分布均匀。在惯性加速度不是非常大情况下,绳索的横向(水平)分力按高度线性近似是可以考虑的,毕竟绳子   发表于 2014-9-15 11:44
离心加速场是不均匀的  发表于 2014-9-15 10:26
跟定不定常没关系。即使不是匀加速运动,在不同时刻其“重力加速度”大小不同而已。比如在地球上的悬挂绳与月球上悬挂绳,重力加速度不一样,但都是悬链线。  发表于 2014-9-15 09:41
重力场是定常场,而跳绳的离心惯性场不是。所以绳子曲线应该与悬链线有所不同。  发表于 2014-9-15 09:15
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发表于 2014-9-15 11:15:05 | 显示全部楼层
应该这样简化一下。
1. 绳为柔性不可伸长的。因为,如果是塑性或弹塑性的话,绳子在加速运动过程中容易出现拉伸变形,且在不同位置有不同程度残余应变,每时每刻绳子的位形都在变。
2. 为简化起见,假设绳子是质量均匀分布的。
3. 跳绳过程中,双手简化为一个固定的水平轴(即双手不会上下摆动)。
4. 绳子绕轴旋转的角速度很大(角加速度可以不为零)。
5. 空气阻力忽略。

在上述假设条件下,因为角速度很大,因而向心加速度很大(以非惯性系观点说,惯性离心加速度很大)。相比而言,重力影响可忽略。这时绳子内部的张力非常大,在径向上处于一种动态平衡。根据理论力学中的刚化原理,在径向可认为是绳索是刚体。
此时,若还有角加速度,那么相应就会有惯性力偶矩产生,这时绳子会候受到惯性力偶矩的作用。事实上,这里的惯性力偶矩不是分布力偶矩,因为它来自于人的双手(轴)的激励作用。假若绳索在切向也是刚化的(那么绳子完全就是一个刚体了),这时作用在轴处的力矩,其产生的作用会平行传递到绳子各点(因为同一刚体上的力矩可以随处移动而不改变其运动状态)——这样,各点的角速度就增大了。事实上,绳子在切向方向不是刚性的(除非角加速度为零),因此在力偶矩的作用下绳子会发生变形。但由于惯性力偶i矩作用在轴处,因此只是轴附近(即手附近)的绳索被扭曲;绳索其他地方由于惯性,仍然保持原先的运动状态(在一个平面内)。因此,忽略轴附近的影响,在上述假设下,绳子可以近似看成是一个平面曲线,忽略重力,其惯性离心力就等效为一个“重力场”,这个“重力场”时时刻刻在旋转,但是保持与绳子同步。故绳子相当于一个运动的悬链线。

其实,根据现实观察及个人经验可知,当以不太快的速度挥动跳绳的时候,绳子在空中明显不是一个平面曲线。一般来说,绳索离手臂越远的地方,其相位略“延迟”于靠手臂近的绳索相位。进一步,当速度较慢的时候,重力的作用就体现出来了——绳子容易出现塌软,甚至挥不过头顶;即使过了头顶,绳子也会在手的牵制下做约束抛体运动。

另一方面,当挥动跳绳速度非常快的时候,绳索几乎刚化,但是由于速度太快,微小变化用肉眼难以察觉(除非使用高速摄影机)。事实上,由于人难以保证双手固定为一个轴,并且一般都是在上升过程中发力(产生角加速度);由于很高的线速度(因为角速度大)情况下,空气阻力也会很大(根据空气动力学,阻力与物体截面积乘以速度平方成正比),各个位置处的阻力也不尽相同——因此绳索并不是一个平面曲线,而是一个稍微有弯曲的平面曲线,其形状难以用显式公式给出。

点评

2. 质量分布集中于绳子的对折中心。这时候相当于无质量线末端挂一有质量小球的效果。那么形状应该是V字形。  发表于 2014-9-15 11:51
两个极端情形:1. 惯性离心力非常非常大(绳子很长很长,或角速度非常大),这时候绳子的形状是——两边是直线提挂最低端的“微小段”悬链线。  发表于 2014-9-15 11:49
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发表于 2014-9-15 21:53:46 | 显示全部楼层
方程是求不出的   像椭圆函数    只有数值解
QQ图片.jpg
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发表于 2019-7-6 00:13:28 来自手机 | 显示全部楼层
怎么哪里都有我,我怎么做过这个,完全不记得了,今天用的另外一种方法列的方程不一样,不知道结果是不是一样

点评

哈哈哈,可能是喜欢我的问题~  发表于 2019-7-6 11:06
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发表于 2019-7-6 10:33:23 | 显示全部楼层
不是悬链线,是椭圆积分
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发表于 2019-7-11 14:08:19 | 显示全部楼层
Mohazzabi, P., & Schmidt, J. R. (1999). Profile of a rotating string. Canadian Journal of Physics, 77(7), 505–513.
Nordmark, A., & Essén, H. (2007). The skipping rope curve. European Journal of Physics, 28(2), 241–247.
无无空气阻力、不考虑重力(或者角速度非常大)的情况下,跳绳形状可以表示为雅克比椭圆函数,其形状与悬链线相比,最低对称点位置比悬链线更为突出,而其他位置更加靠近旋转轴。

考虑空气阻力,显然不再是一个平面曲线,而是远离旋转轴位置的绳子会稍滞后(线速度越大,阻力越大),见 Aristoff Jeffrey M. and Stone Howard A. The aerodynamics of jumping rope. Proc. R. Soc. A 468.
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发表于 2019-7-13 14:22:23 | 显示全部楼层
当时的一些算稿
2019-07-13_141959.jpg

2019-07-13_141914.jpg

2019-07-13_141845.jpg

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