\(n \in N ,n\pmod {2\pi}\)在\([0,2\pi]\)中是否稠密？

dianyancao

即在单位圆上以单位弧长周而得始地取刻度点，点集是否稠密。
将圆上的刻点投影到一条直径上，于是问题就等价于：
证明或否定数列\(\{ \sin(n)\} _{n \in N}\)经过\([-1,1]\)中的任意给定点的邻域。

所谓经过，即存在 1 项落在邻域。

Lwins_G

等价于询问`n\pmod{2\pi}`是否能任意接近0，后者是显然的。

fwjmath

显然是稠密的。只需要论证对于任意小的\( \epsilon > 0 \)，存在\( n \)使得\( 0< n \pmod{2\pi} < \epsilon \)即可，而这可以通过\( 1/\pi \)的有理数逼近得到。

这种映射叫irrational rotation，在动力系统中是一个……非常平凡的例子……：http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_rotation

cn8888

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. ListPlot@Table[{Mod[k,2*Pi],1.0},{k,1,10^1}]
   
3. ListPlot@Table[{Mod[k,2*Pi],1.0},{k,1,10^2}]
   
4. ListPlot@Table[{Mod[k,2*Pi],1.0},{k,1,10^3}]
   

复制代码

看这个样子,似乎可以接近这个区间内的任何一个数吧

cn8888

人类与计算机不一样,人类会猜想,但是计算机却不会,人类会归纳总结,而计算机不会,
人类会思考,而计算机不会.
有时候想一想觉得人类真了不起

Lwins_G

我给出一个证明吧。

证    记`P(x)`代表命题`x \in \{jr\pmod 1\}_{j \in \ZZ}`。
考虑
\[ t = 1 - \left[ \frac{1}{r} \right] r \]
显然`t<r`，故而存在`k(r) \in \ZZ`使得
\[ 0 < r' = r - k(r) t < \frac{r}{2} \]
\[ P(r) \implies P \left( \left( k(r) \left[ \frac{1}{r} \right] + 1 \right) r\mod 1\right) = P(r') \]
故容易得到一组趋于`0`的`P(r_j)`，明所欲证。

dianyancao

可以得到，该数列中的任意两项构成的区间中都存在无穷多个该数列的项
这个是否能导出该数列在该区间中稠密？

hujunhua

关于无理数的一个小问题 - 难题征解 - 数学研发论坛 - Powered by Discuz!
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5177-1-1.html

dianyancao

hujunhua 发表于 2014-9-24 11:39
关于无理数的一个小问题 - 难题征解 - 数学研发论坛 - Powered by Discuz!
http://bbs.emath.ac.cn/thread ...

首先空白弧段的长度是趋于0的，即存在大于0的空白弧段？这时似乎用这空白弧段不能覆盖整个圆？

dianyancao

hujunhua 发表于 2014-9-24 11:39
关于无理数的一个小问题 - 难题征解 - 数学研发论坛 - Powered by Discuz!
http://bbs.emath.ac.cn/thread ...

哦，应该需要应用最小上界公理
在实数域内趋于0就是等于0