求x^2+1=2y^4的所有正整数解

282842712474

如题，求不定方程
$$x^2+1=2y^4$$
的所有正整数解。
已知的解是$(1,1)$和$(239,13)$。

cn8888

这个问题，如果有两个变量，且x与y的最高次幂有一个大于2，那么通常都只有有限个解答，
最笨的办法就是穷举了，我觉得没啥好的办法了。

cn8888

http://bbs.emath.ac.cn/thread-5672-1-1.html

cn8888

Baker's theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Baker's_theorem

cn8888

这儿哪有人能回答你这个问题?太难了

282842712474

事实上，这个题目已经被证明只有这两组解。证明相当复杂。
我想问问坛里的大神有没有什么想法~~

cn8888

我也知道这个结论,搞数论很难的,不要太深入!

282842712474

cn8888 发表于 2014-10-12 16:40
我也知道这个结论,搞数论很难的,不要太深入!

我觉得生活最难，那么人是不是不要活了？

kastin

令 `z=y^2`，那么方程变为Pell方程$$x^2-2z^2=-1\tag{1}$$正整数解为$$\begin{cases}\D x=\frac{1}{4} (\sqrt{2}(3+2 \sqrt{2})^n-\sqrt{2} (3-2 \sqrt{2})^n- (3+2 \sqrt{2})^n- (3-2 \sqrt{2})^n)&&&&&&&(2.1)\\
\D z=\frac{1}{4} (\sqrt{2}(3-2 \sqrt{2})^n-\sqrt{2} (3+2 \sqrt{2})^n+2 (3+2 \sqrt{2})^n+2 (3-2 \sqrt{2})^n)&&&&&&&(2.2)
\end{cases}$$若原方程只有2组解，则只需证明 `(2.2)` 中，当且仅当 `n=0` 和 `n=4` 时，`z` 是完全平方数。这样的代数式如何证明呢？

mathe

取$z_0=1,z_1=1,z_{n+1}=6z_n-z_{n-1}$，可以得出所有的z