是否可以只通过实向量的傅立叶变换幅值重构该实向量？

dianyancao

已知对实列向量\(x\)应用傅立叶变换后得到的目标列向量为\(b\)
取其幅值\(\text{Abs}(b)\)，则原列向量\(x\)的循环移位不影响其对应的幅值列向量\(\text{Abs}(b)\)

是否可以忽略\(b\)的相角\(\text{Arg}(b)\)，只使用其幅值\(\text{Abs}(b)\)重构原来的实向量\(x\)呢？
（重构的实向量和原向量\(x\)是不是只相差一个循环移位的值）

设正交傅立叶变换系数矩阵为\(A\)，则
\[
\begin{align*}
  A\overline{A^T}&=E \\
  Ax&=b \\
  (\text{Abs}(b_k))^2&=(Ax)_k\overline{(Ax)_k} =<A_k,x>\cdot<\overline{A_k},x>={A_k^T}x\overline{A_k^T}x
\end{align*}
\]
\(k\)为取其对应矩阵(向量)的第\(k\)行，一共\(k\)个未知数，\(k\)个等式
如何求解\(x\)，求解\(x\)需要哪些前提条件？

kastin

记`M^\mathrm H`为`M`的共轭转置( `M^\mathrm T` 为 `M` 的普通转置)，`E` 为单位矩阵。由于先转置再共轭与先共轭再转置是一样的，于是对于正交傅里叶变换复矩阵`A`，有`E=A^\mathrm HA=AA^\mathrm H=\overline{A^\mathrm HA}` 即 `E=\bar{A}^\mathrm T A=A\bar{A}^\mathrm T=A^\mathrm T\bar{A}`，所以重构很简单，只要知道了 `A` 和 `b` ，那么$$x=\bar{A}^\mathrm T Ax = \text{<}A,Ax \text{>}=\text{<}A,b \text{>}$$不过，若是只知道 `b` 的模长，那么很容易知道 `x` 的模长是一样的：$$|b|=b^\mathrm Hb=\text{<}Ax,Ax \text{>}=\bar{x}^\mathrm T\bar{A}^\mathrm T Ax=\bar{x}^\mathrm T x=\text{<}x,x \text{>}=|x|$$这说明，只是知道变换后的“像” `b` 的模长，那么对应变换之前的“原像” `x` 则有无穷多种可能，即相位信息必不可少。

dianyancao

用如下代码找到反例了，只用幅值不能唯一重构原来的实向量

1. nN=3
   
2. xx[k_]:=Sum[E^(-I 2Pi/nN n k)x[n],{n,0,nN-1}]
   
3. 
   
4. xxx=Table[xx[k],{k,0,nN-1}]/.{x[0]->0,x[1]->1,x[2]->2}
   
5. Abs[xxx]^2
   
6. xxx=Table[xx[k],{k,0,nN-1}]/.{x[0]->0.1,x[1]->0.8235017956929166`,x[2]->2.076498204307083`}
   
7. Abs[xxx]^2
   
8. 
   
9. 
   
10. 3
    
11. {3,E^(-((2 I \[Pi])/3))+2 E^((2 I \[Pi])/3),2 E^(-((2 I \[Pi])/3))+E^((2 I \[Pi])/3)}
    
12. {9,3,3}
    
13. {3.,-1.35+1.08513 I,-1.35-1.08513 I}
    
14. {9.,3.,3.}

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dianyancao

想用傅立叶变换提取图像特征得到对循环位移的不变性
有没有极端的例子，幅值相差不大，但是两幅图像的欧式距离很大的呢？