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楼主: hujunhua

[转载] 据说是一道Google实验室能力倾向测试题———无穷网格中的等效电阻

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发表于 2014-10-18 14:00:29 | 显示全部楼层
由此得出$I_{s,t}=(4-2cos({s\pi}/n)-2cos({t\pi}/m))U_{s,t}$
所以我们只要先计算$I_{s,t}$,然后就可以得出$U_{s,t}$,然后再做离散正弦变换逆变换,然后让m,n趋向无穷即可

点评

`I_{s,t}`应该比较好算,毕竟`i_{x,y}`是稀疏数组。  发表于 2014-10-18 16:47
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-10-18 17:29:32 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2014-10-18 14:00
由此得出$I_{s,t}=(4-2cos({s\pi}/n)-2cos({t\pi}/m))U_{s,t}$
所以我们只要先计算$I_{s,t}$,然后就可以 ...

线性差分方程之于离散正(余)弦变换相当于线性微分方程(这里的线性是指微分算子的性质是线性的)之于傅里叶变换。离散正余弦变换最好是用于信号个数为无穷多个(`N=\oo`),因此,如果线性差分方程的边值问题中网格数量不够大(或者网格间距不够小),那么求解边值问题时候,在边界上会出现问题,因为边界上有些函数值依赖于周围的点,而超出边界的部分不知道。这或许就是mathe在前面链接中提到的扫雷问题的求解时候出现不确定解,或者采用最小二乘解的原因。

上面提到的其实就是偏微分方程数值求解中的差分离散方法。一般来说,处理边界值用到对称假设或者外插法(这是偏微分方程数值求解过程中经常用到的手段),可想而知,这种近似方法对于网格数越大,则越有效。

而本问题是无限大网格,所以不会出现边值问题,用离散的正弦变换最合适不过。

点评

这类问题应该有mathe提到的这类通用解法。或考虑用微分描述,不过还没想出怎么用积分表达任意两点间电阻。  发表于 2014-10-18 19:15
高大上  发表于 2014-10-18 17:57
高手呀!  发表于 2014-10-18 17:36
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发表于 2014-10-18 18:25:46 | 显示全部楼层
我想到另外一种解法,不过我想先问个问题:连续函数的极值点经过傅里叶变换之后还是不是极值点?

点评

噢,对,自变量都不一样...我想到哪里去了,晕。我是想能不能变为一个极值问题,因为电流的分布使得发热量最小。  发表于 2014-10-18 20:27
这个问题……自变量不一样,没有直接的联系。比如你将一个高频正弦函数进行傅里叶正弦变换。  发表于 2014-10-18 18:57
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发表于 2014-10-18 21:39:52 | 显示全部楼层
以某个节点为原点,每个格的边长为2,这样子每个电阻可以假设位于整点上(坐标分别为一奇一偶),设流过节点的电流为$I_{2n,2m+1}$或$I_{2m+1,2n}$。那么发热量
$$\sum_{m,n\in \mathbb{Z}} \left(I_{2n,2m+1}^2+I_{2m+1,2n}^2\right)$$
取极值。

根据基尔霍夫定律,有限制
$$I_{2n,2m+1}+I_{2n,2m-1}+I_{2n+1,2m}+I_{2n-1,2m}=0,\quad \forall m,n\in\mathbb{Z}$$

不知道这个角度可否求出?(当然,这样只能够求出比例)
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发表于 2014-10-21 18:27:34 | 显示全部楼层
有没有人考虑过这个问题的三维情况?
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发表于 2014-10-21 18:44:08 来自手机 | 显示全部楼层
三维情况也是类似的
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发表于 2014-11-21 20:52:56 | 显示全部楼层
使用多元Z变换,用Cauchy围道积分表示出答案即可。与Fourier变换形式等价。
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