能涵盖螺旋线及摆线的曲线叫什么？

gxqcn

一个点，在平面上绕某一定点匀速旋转多圈，形成一个多圈圆，其轨迹为：\[\overrightarrow{P(t)}=\overrightarrow{O}+r\cos(\omega t)\overrightarrow{\imath}+r\sin(\omega t)\overrightarrow{\jmath},\ t\in[0,1]\]
如果在此过程中，其还沿着某条空间直线方向上做匀速运动，其轨迹为：\[\overrightarrow{P(t)}=\overrightarrow{O}+r\cos(\omega t)\overrightarrow{\imath}+r\sin(\omega t)\overrightarrow{\jmath}+\overrightarrow{L}*t,\ t\in[0,1]\]
令 \(\overrightarrow{L}=L_x\overrightarrow{\imath}+L_y\overrightarrow{\jmath}+L_z\overrightarrow{k}\)，则其轨迹方程为：\[\overrightarrow{P(t)}=\overrightarrow{O}+\Big(r\cos(\omega t)+L_x t\Big)\overrightarrow{\imath}+\Big(r\sin(\omega t)+L_y t\Big)\overrightarrow{\jmath}+L_z t*\overrightarrow{k},\ t\in[0,1]\]请问该曲线的名称叫什么？

比如：

1. omega = 8 Pi; Lx = 1; Ly = 2; Lz = 3;
   
2. ParametricPlot3D[{Cos[omega*t] + Lx*t, Sin[omega*t] + Ly*t, Lz*t}, {t, 0, 1}]

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待冠名曲线

显然当 \(L_x=L_y=0\) 时，将形成一个类似弹簧的圆柱螺旋线（Helix）：

1. omega = 8 Pi; Lz = 3;
   
2. ParametricPlot3D[{Cos[omega*t], Sin[omega*t], Lz*t}, {t, 0, 1}]

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圆柱螺旋线

当 \(L_z=0\) 时，将形成一个次摆线（Trochoid），这个是 2D 的：

1. omega = 8 Pi; Lx = 1; Ly = 2;
   
2. ParametricPlot[{Cos[omega*t] + Lx*t, Sin[omega*t] + Ly*t}, {t, 0, 1}]

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次摆线

gxqcn

general helix 是否贴切？
slant helix 是否贴切？（但，它过于倾向于强调，而非涵盖，不爽）

kastin

平面的叫次摆线，空间的（如果不垂直圆平面的话）叫斜圆柱螺旋线。
通常我们所说的圆柱面，圆柱螺旋线指的是直圆柱（正圆柱），即母线垂直于导线（圆）所在平面。如果母线与导线所在平面不垂直，那么形成的圆柱面称为斜圆柱面(oblique cylindrical surface)，因而顺理成章地称为斜圆柱螺旋线。

gxqcn

考察一下从圆柱螺旋线到次摆线的过程：可以把圆柱螺旋线想象成一个多圈弹簧，如果将其两端点固定在两个比较大的平行平板（均垂直于圆柱母线）上，在水平方向上对某个面施力，将会出现类似第一幅图的曲线（这有问题吗？），如果再继续下压该平板，使之与另一面重合，那么就得到了次摆线（这有问题吗？）。

那么问题来了，圆受力，一般变形为椭圆；螺旋怎会最终变形为次摆线？
即，我比较疑惑的是：第一幅图的曲线真的是在“斜圆柱面”上吗？

mathe

我觉得原因在于螺旋不是圆（虽然在圆柱面上）。如果将螺旋之间横着投影，是不是比较像摆线

gxqcn

请问“斜圆柱”是如何定义的？
垂直于其母线的截面，是个圆还是椭圆？

显然，我说的那种曲线所在的柱面（第一幅图），其水平截面才是个正圆，而此时其与母线并不垂直。

kastin

gxqcn 发表于 2014-10-26 14:41
请问“斜圆柱”是如何定义的？
垂直于其母线的截面，是个圆还是椭圆？

既然叫圆柱，准线当然是圆 而不是 椭圆，否则应该叫 椭圆柱 了。

第一幅图当然不是直圆柱面的螺旋线了，因为轴线 `\vec{OL}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}` 不垂直于 动矢 `\vec{OP(t)}=r\cos(\omega t) \vec{i}+r\sin(\omega t)\vec{j}` 所在的平面。

gxqcn

如此说来，我们所讨论的曲线就不能称作“斜圆柱螺旋线”了，因为其所在曲面不是“斜圆柱”，对吗？

kastin

gxqcn 发表于 2014-10-26 16:37
如此说来，我们所讨论的曲线就不能称作“斜圆柱螺旋线”了，因为其所在曲面不是“斜圆柱”，对吗？

为了表达清楚一点，这里就不揣冒昧啰嗦一下了，还望见谅。

”横看成岭侧成峰，远近高低各不同。"

事物本来就不是单一静止的，观察角度不同所得信息不同，因此结论也不同。这个简单哲学常识大家都懂。对于楼主的问题（螺旋线分类名），根据螺旋线（有的也简称“螺线”）的自然定义，我们发现其命名分类跟它所在的柱面相关，因而涉及到柱面定义的理解。

对于柱面来说，字面上不难看出其名称是直观性的，而通常所见到的的教材以及参考资料中给出的定义也是直观性的——

给定准线（一般是平面曲线）和母线（大多是直线，也可以是曲线，无限长或有限长部分），母线经过准线平行地进行移动（在理论力学中称为”平动“），母线的历史轨迹就叫做柱面。

这种形象的定义，不可避免地带来了很多问题【注】。比如，母线和准线的定义是什么？因为要判断某个曲面是什么柱面，得先知道它的母线和准线。一般母线是比较好确定的，因为它只进行平动，但是问题在于准线和母线也并不总是固定的。例如，一个正（直）圆柱面，其母线通常认为是直线，准线是圆。但是，根据柱面的定义，我们也可以认为圆是母线，直线是准线——即正圆柱面也可看成是一个圆沿着经过过圆且垂直圆平面的直线进行平动所得的曲面（而圆锥面则没这个问题）。【看来数学是一个处处讲究定义的逻辑演绎理论体系，可不是嘛？事实上，只要是学数学学得深的人，跟他讨论问题，他首先会问你定义是什么，而无论这个定义“看上去”是否“合理”，但是逻辑上一定是严谨的。数学讲究严谨，但生活中却不能这样（设想，如果生活中大家每次对话过程中都得声明定义，那将会多么痛苦）。不过这并不是说数学上的定义都是严谨精确的，因为有些概念根本无法精确定义，比如“直线”、“平面”（非欧几何的诞生的根源），“集合”（第三次数学危机的导火索）。】

另外，上面关于柱面的直观定义还存在一些问题：母线与准线所在平面是否垂直，准线是否是封闭曲线或者是否自相交，等等。关于这些细节，教科书以及一些资料中都没有进行任何说明，可见这个定义是相当宽泛概括的。因为数学上关于几何曲线曲面对象的严谨定义，使用的是微分几何中的参数描述方法。【这种方法精确却复杂，因为数学公式可以通过不同变换到达不同的形式，如果能找出不变量，或者特征量（即其本质特征），比如圆锥曲线只需要确定其离心率就很方便地定义。】

所以，除了一些特殊情况（比如母线与准线所在平面垂直，即"正（直）xx柱面"）是较为标准清晰之外，其他情况下，上面给出的直观定义会出现相互覆盖，或是无法定义的奇异情况（比如准线自相交，或者准线有无理周期）。

基于上面给出的直观定义，对于直圆柱与直椭圆柱，不会出现任何歧义，但是“斜椭圆柱”就是一个含糊的概念了，因为它可以是前面两个中任意一个。

这样看来，解决上述问题的方法有三个：1. 对于非特殊情形，归为为一般曲面即可，无需给出具体名称分类；2. 给出约定，指定某某主要的几大类情形叫做什么曲面，大家共同遵守即可；3. 给出精确的定义，母线准线以及柱面（但这样来带的弊端是，陷入繁琐的公式变换以及参数的识别，失去几何直观性）。


所以，要么不去纠结这种一般情形叫作什么名字——要么舍去不管，要么约定一下称呼统一一下即可。比如，我们知道，与圆锥底面呈的不同角度的平面去截，所得的平面曲线是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此我们称这些二次曲线为“圆锥曲线”。但是，如果是一个椭圆锥，我们同样能截得这些二次曲线，那么是否应该称它们为“椭圆锥曲线”呢？



现在回到螺旋线上来。因为目前还找不到比较严谨且统一的关于螺旋线的定义，一般在高等数学课程，画法几何（或机械制图/工程制图）、房屋建筑学课程中有涉及，但只是提到到圆锥螺旋线和直圆柱螺旋线，但大多都是给出相应的公式和一些直观描述。另外一些特殊的例子，如对数螺旋线，阿基米德螺旋线、斐波那契螺旋线等，而这些也都是通过公式精确定义的（斐波那契螺旋线则是通过操作程序定义）。所以，目前还没有一个很好的标准怎么称呼那些“非标准情况”的螺旋线。

下面是一点个人看法。

螺旋线跟柱面是两码事，因为柱面是连续稠密的，所以柱面的定义中出现的问题，不会全部在螺旋线中体现，主要是因为螺旋线是曲线而不是曲面，它有明显的方向特征，曲面则没有（可以向四面八方延伸）。所以，1楼第一幅图若连续延展成曲面，按照经典的直观定义，确实会出现两种叫法——“直椭圆柱面”（因为垂直截面是椭圆）或者“斜圆柱面”，而对于螺旋线则不存在这个问题。这一点从其曲线方程以及螺旋结构特征很明显就能看出来。因为螺旋线的参数`t`是有初始取值(或者 终止值）的，如果从螺旋线所在柱面垂的直截面的角度来看，说它是椭圆螺旋线，那么这个螺旋线方程就不是这样了（除非这个螺旋线是双边无限延长的）。


注：
一般来说，数学领域中的命名或者定义有两大类，一类是直观性的，（比如“整数”、“奇数”、“质数”、“虚数”、“直线”、“正方形”、“平面”、“相似”、“矩阵”等），这类概念一般是根据其功能或性质的直观体现来命名的，形象生动。第二类是则是主要根据其数学本质来定义的（比如“微分”、“积分”、“调和”、“集合”、“算子”、“空间”等），一般比较抽象晦涩，精炼。而剩下那些不属于上述分类的概念中，大多都具有以上两种特征（比如“代数”、“变量”、函数、“同构”、“投影”、“张量”等），或者干脆是概念的首先提出者（或者理论的发明者/创造者）的给定的名称。

直观（表象）和本质是一对哲学范畴，其相互关系可以概括为“精炼则失之形象，通俗则失之严谨”——它们虽然是矛盾的，但是却是对立统一、相辅相成的。

gxqcn

谢谢楼上的专业释疑！
因工作需要，需要将螺旋线（Helix）及次摆线（Trochoid）统一，这样我只要开发一个模块即可兼具两者功能。
但问题是，怎么取一个贴切的名称？（我这人有点过于追求完美，呵呵）
我翻遍手头手册、电子书无果；然后在QQ群里发，继而求助于论坛。。。

因为问题本身似乎没有太大的难度，或者说是价值，所以就直接发在“开心茶馆”了，只当给大家闲暇时添个小话题。
能有如此大的收获，已远出我当初预期，再次感谢！