函数方程 求解

wayne

求这样的  $f(x,y)$：  $f^2(x,y) =x+y + f(x+y,y)$ ，$f(x,y)>=0$ 且在定义域内连续可导

wayne

至少存在一个解的形式：

\[f(x,y) = \sqrt{x+y+\sqrt{x+2y+\sqrt{x+3y+...}}}\]

hujunhua

由`f(x,y)=\sqrt{x+y+f(x+y,y)}`无穷迭代，只得到二楼的解。所以二楼貌似为唯一解。

mathe

2#的解记为g(x,y),然后任意选择连续函数f(x,y)在区域x>=0,y>=0,x<=y均不小于g(x,y)而且满足条件f(y,y)=f(0,y)^2-y即可

mathe

比如我们可以选择f(0,y)=g(0,y)+h*y，然后可算出f(y,y)-g(y,y).然后对于任意给定y,然让f-g在0<=x<=y时线性即可有满足条件的连续f.而如果有更高阶连续性要求，可弄更高阶多项式

wayne

不难得到边界解的解析表达，虽然与最终需求相去甚远：
\[f(x,0) = \frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}\]

wayne

设 $a_n = f(nx,x),$那么，$a_n = a_{n-1}^2 - n$, 根据Ramanujan恒等式 得知， $a_0<3$

wayne

从Ramanujan关键词入手，很顺利的搜到 $a_0=1.757932756618004532708819638218138527653199922146837704310135500...$ 是Kasner number，以 Edward Kasner 命名。
迄今为止，没有闭式表达。好像论坛以前讨论过，但通过关键词一直没搜出来。我很怀疑我的记忆力的，因为曾出现过好多次，根据逻辑推理明明不可能发生过的事情，我的脑子却总感觉这是第二次发生了，故而不深入追究了。


http://mathworld.wolfram.com/NestedRadicalConstant.html
http://oeis.org/A072449

wayne

这题目最初是QQ群里的BakaNiner小朋友提出来的，提问时间是 2014-10-29  13:00:28 。原问是：

sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...sqrt(n) 怎么算

后来我弄成递推式子，再推广一下，发现可以定义一个连续可导的函数$f(x,y)$。即成了1楼的函数方程.
我对$f(x,y)$的兴趣远甚于$f(0,1)$, 这是注意力的转移，并非hujunhua所说的 犯了 X-Y problem的错误。