硬币投掷 想要出10次正面 平均需要投掷20次 这句话错了吗？

wayne

jjkkt 发表于 2014-11-1 14:17
3楼是我的大标题 我觉得标题没有歧义
为达2连胜平均需要6场 这句话有歧义？

没那么简单。 目标是达到2连胜，游戏带有终止条件，所以，状态空间只有三种情况：
1） 全败
2） 有胜局，但不存在 连胜，即所有的单胜被若干的败隔离着。
3） 最后两局连胜，之前的所有局面不存在连胜。

你应该在这种状态空间里，把情况3）的所占概率算出来，然后求期望。

wayne

接着上面的来，假设$m$局没有二连胜的条件概率是$f(m)$,那么计算得知 $f(n) = \frac{F_{n+2}}{2F_{n+1}}$，其中$F_n$是Fibonacci数列。

$ f(1) = 1 ,f(2) = 3/4 ,f(3) = 5/6 ,f(4) = 4/5  ,f(5) = 13/16$

kastin

jjkkt 发表于 2014-11-1 14:17
3楼是我的大标题 我觉得标题没有歧义
为达2连胜平均需要6场 这句话有歧义？

显然有歧义，首先我就不明白你所谓2连胜是什么意思，能定义一下吗？要不这么说吧，3连胜算作2连胜的的一种情况吗？如果算，那就是至少2连胜的意思。

我们使用最原始可靠的解法，根据期望的定义来求，这样不至于有异议

于是2连胜可能的情况是
总共进行2场，全胜，概率为`p^2`
总共进行3场，恰好前两场胜或恰好后两场胜，或者全胜，概率为`2p^2(1-p)+p^3`
总共进行4场，恰好前、恰好中、恰好后两场胜利，或恰好前、恰好后三场胜，或全胜。
……

至少2连胜的场数期望为 `2(p^2)+3[2p^2(1-p)+p^3]+4[3p^2(1-p)^2+2p^3(1-p)+p^4]+\cdots`
由于`p=1-p=1/2`，故上式可化简为$$2\*p^2+3\*3p^3+4\*6p^4+5\*10p^5+\cdots=\sum_{n=2}^{\oo}n\frac{n(n-1)}{2}p^n=\frac{p^2(p+2)}{(1-p)^4}=10$$

如果3连胜不算作2连胜的一种情况，那么就是恰好2连胜。只需在上面分析过程中去除3、4、5...连胜的情形即可，因而
恰好2连胜的期望为$$2\*p^2+3\*2p^3+4\*3p^4+5\*4p^5+\cdots=\sum_{n=2}^{\oo}n(n-1)p^n=\frac{2p^2}{(1-p)^3}=4$$

无论如何也得不出6场的结论。

kastin

@wayne ，我觉得之所以会产生这些疑问，与比赛的中止条件有关。
比如，如果游戏进程中止条件是，”直到2连胜“为止，意味着不可能出现3连胜、4连胜的可能（更不用说是多个这样的高于2次的孤立连胜）
”孤立连胜“是指，被连续的或单个失败场所分割开来的那个连胜场序列。
”孤立极大连胜“是指，孤立连胜序列中最大连胜场次。
如果游戏进程没有中止条件，这就意味着，游戏进行的场次越多，其出现高连胜的机会越大，所以n连胜所需”平均意义“上的场次数目也会随之增加，因而题目没有意义。

所以楼主的题目是个非常复杂的问题，如果不限定条件，答案并不像前面的回答的那样简单（包括我给的几种答案）。

wayne

wayne 发表于 2014-11-1 15:04
假设$m$局没有二连胜的概率是$f(m)$,那么计算得知 $f(n) = \frac{F_{n+2}}{2F_{n+1}}$，其中$F_n$是Fibona ...

将条件概率转化成全局概率，于是 2连胜导致游戏终止的场数的期望值就是：

\[E = \sum _{n=2}^{\infty }n\cdot \frac{2F_{n+1}}{2^n} (1-\frac{F_{n+2}}{2F_{n+1}}) = \sum _{n=2}^{\infty } \frac{n \left(2 F_{n+1}-F_{n+2}\right)}{2^n}  = 6\]

额，的确是6场， @jjkkt 的答案是正确的。我的方法虽然原始曲折，但也殊途同归。
刚看 jjkkt 在3楼 的解答，这种思路最简洁,  n连胜导致游戏终止的场数的期望值是  \(E_n =\frac{p^{-n}-1}{1-p}\)

wayne

写了一个quick&dirty的代码玩玩，模拟10^7次，算得期望值是6.00022，大约就是6
(该程序设置最大模拟次数是10^8，可以实时查看模拟次数 和 二连胜的期望值,将n换成3，就是3连胜了)

1. Monitor[total = 0; jj = 0; n=2;
   
2. While[jj < 10^8,
   
3.   For[i = 0; cnt = 0, i < 10000, ++i; tmp = RandomInteger[{0, 1}];
   
4.    If[tmp == 0, cnt = 0, cnt++]; If[cnt == n, Break[]]]; total += i;
   
5.   jj++], {jj, N[total/jj]}]

复制代码

wayne

用期望的定义来做，k连胜的期望就是
\(\displaystyle E_k =\sum _{n=k}^{\infty } n\frac{2 a_{n}-a_{n+1}}{2^n}  \),  其中 $a_n$ 是 母函数 \(\displaystyle G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \frac{1}{1-x-x^2-...-x^k}\)的$x^n$的系数

于是 \[E_k =2G(\frac{1}{2})-2 =2^{k+1}-2 \]

jjkkt

“为达n连胜 平均需要多少场”
我觉得是没歧义的
到达n连胜的瞬间 场次已经固定下来了 你没必要继续啊 所以肯定不包括n+1连胜啊

好比这句“要想抛硬币出1次正面 平均需要抛几次” 这个很明显是2次吧？
如果你说我抛出正面后还可以抛 的确可以 但是与问题无关

还有这贴我其实是在问“数学期望和均值难道不等价”？
我说个平均被人追着喷 说只有民科才这样说 还说均值不等价于期望

wayne

楼主你好。有没有歧义已经不重要了，因为实际效果就是你已经让不少人误会你了， . 关于歧义就翻片吧。

关于你说的““数学期望和均值难道不等价”？”，我觉得这个差别在数学定义上还是比较明显的。有二点：
第一，平均可以对很多种度量单位做平均，比如每一个苹果的平均价格，每一斤苹果的平均价格，而期望是对事件发生次数的平均。
第二，平均做完除法就结束了。期望还得将次数趋于无穷大，并取极限，是极限值。所以我们可以经常见到各种题目要你计算某某平均值的期望。
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jjkkt

wayne 发表于 2014-11-3 09:06
楼主你好。有没有歧义已经不重要了，因为实际效果就是你已经让不少人误会你了， . 关于歧义就翻片吧。

...

你的意思是 期望真包含于平均
那我用平均来替代所有期望的场合是没问题的