一个1998年哈佛-麻省理工学院高中数学竞赛题

Mgccl

哈佛-麻省理工学院高中数学竞赛希望明年可以参加
$a^3+b^3+c^3 = x$
a,b,c,x都为正整数,找出最小的x,使得可以有两组(a,b,c).

其中题目中提供
$a^3+b^3 = x$
最小的x为
$1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3$
使得有两组(a,b)

原题的卷子. Algebra卷子最后一题
http://web.mit.edu/hmmt/www/datafiles/problems/1998/ALGEBR98.pdf

1998年是唯一一年题目的解法丢失的一年
我可以很快的知道这个数字小于1730,但是后面的就不知道怎么做了. 我用计算机算出了结果,但是我在想有没有更简洁的那种可以很快做出来的方法.

早就想要发,但是每小时只能发三个帖子...只好多等30分钟不睡觉..凌晨 3AM了 orz.

无心人

等于最小的平方数能表示成三个立方数的和，且至少有两种表示方法

我想是否和同余有关系呢???
比如两边求$mod 10$是否有帮助

Mgccl

哎呀错了,题目修改了一下, 不是$x^2$或者$x^3$而是x.
再来...

无心人

呵呵
幸亏你修改的早
否则6个小时后就不能修改了

不过别灰心，俺三月的时候还和你一样呢
一个小时才能发3个

现在就冲到了前面

Mgccl

原帖由 无心人 于 2008-6-28 15:23 发表
呵呵
幸亏你修改的早
否则6个小时后就不能修改了

不过别灰心，俺三月的时候还和你一样呢
一个小时才能发3个

现在就冲到了前面

是是... 我现在是天使保护组...这样可以没有限制...
等天使保护组过期了...我也应该可以每小时6贴了...
原来那个题目我当时的做法只能是暴力...
因为数字一定小于1730,则总共只能有12个立方. 而12立方明显太大,消掉,还有11个可能
1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000,1331
如果说是mod 10
1,8,7,4,5,6,3,2,9,0,1
其中3个+起来=相同数字的实在不少...9+0+1 = 0, 8+1+1 = 0, 8+0+2 = 0... 等等... 似乎还是太多了...当场用肯定时间不够...

mathe

两两之差倒只有55组。
要求这55组里面找到3个数，使得其中一个可以表示成另外两个之和。
这个计算量倒不算太大，但是太难看了

gxqcn

答案是什么？
是：$251 = 1^3 + 5^3 + 5^3 = 2^3 + 3^3 + 6^3$
或：$1009 = 1^3 + 2^3 + 10^3 = 4^3 + 6^3 + 9^3$
还是其它更符合要求的？

能用三种不同方法表示成两个正整数的立方和的最小正整数是：
　　$87539319 = 167^3 + 436^3 = 228^3 + 423^3 = 255^3 +414^3$

能用两种不同方法表示成两个正整数的四次方和的最小正整数是：
　　$635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4$

Mgccl

那一年的答案丢失.
按照题目来看,251就是结果.
不用电脑算...似乎不容易.

mathe

没想到还有这么小的结果 我还以为1730就是最小的结果。 一开始考虑方向就错误了
看来手工计算主要问题在于如何构造这个最小结果。构造了251以后，证明最小应该是很简单的。
而251这个数并不大，如果直接从小的数开始试验，也许几步就试验出来了。

mathe

可以这么考虑：
如图，表格中分别为$n^3-m^3$

	1	8	27	64	125	216
1		7	26	63	124	215
8			19	56	117	208
27				37	98	189
64					61	152
125						91
216

选择最后一列最后一个数，分别同前面的数相减：
215-124=91,91虽然出现，但是和215同在最后一列，不是我们所要得（因为最优结果只有一边使用了最大的数字）
215-117=98 符合要求=>$ 6^3-1^3=5^3-2^3+5^3-3^3=>6^3+2^3+3^3=5^3+5^3+1^3$