关于$(\ln z)^{-1}$的复积分

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推导一个问题的时候，导致了以下积分
$$\int_{|z|=\rho<1} \frac{1}{\ln z}\frac{1}{1-z}z^{-n-1}dz$$
$rho$是一个常数，当然，主要的困难是$\frac{1}{\ln z}$这部分。现在的问题是，上述积分结果是否存在？存在的话，结果是否跟$\rho$有关？
其实说白了，我最大的疑问就是，这里为什么不能用留数定理来求？$z=0$不是积分路径内唯一的奇点吗？

感觉复变函数完全没学好，要补补了~~

kastin

因为 `\ln z` 是多值的，在零点处不是通常的本性奇点或者极点，而是一个支点（绕某点一周，函数值不复原），留数定理只能用于孤立奇点中的三类情形。

比如 `\ln z` 无法在零点展开成洛朗级数形式（展开式就是其本身），因此零点处不属于三类（可去、极点、本性奇点）的任何一类。同样，`\D\sqrt{1+\frac{1}{z}}` 也无法在零点展开为幂级数，事实上它的展开是一种分数幂形式的“幂级数”$$\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{2}-\frac{z^{3/2}}{8}+\frac{z^{5/2}}{16}-\frac{5z^{7/2}}{128}+O(z^{9/2})$$相应地，最简单的情况如函数 `\sqrt{z}`，`1/\sqrt{z}` 的展开式，也是它本身。

它们在零点处不存在留数（Residue），可以检验用Mathematica也求不出来。原因前面已给出，就是因为零点是它们的分支点。

P.S. 这个问题挺有意思的，想当年，我试图将根式函数或者对数函数在零点展开为幂级数，结果发现怎么也办不到，感觉自己好傻。

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kastin 发表于 2014-11-26 13:56
因为 `\ln z` 是多值的，在零点处不是通常的本性奇点或者极点，而是一个支点（绕某点一周，函数值不复原） ...

哈哈，其实我也想很多展开。比如我想将$e^{-t^2}$展开为$e^{-t}$的幂级数，我是用$x=e^{-t}$，于是
$e^{-t^2}=e^{-\ln^2 x}$，但是怎么也展不开为$x$的幂级数（得到0），事实上，这个就是数学分析中用来说明泰勒级数不存在的反例。

我也成功地从$i\theta=\ln( \frac{1+e^{i\theta}}{1+e^{-i\theta}})=\ln(1+e^{i\theta})-\ln(1+e^{-i\theta})$
然后展开为后者的幂级数，得到了$\theta$的傅里叶级数。

我也想从$\theta=\ln(\frac{1+e^{\theta}}{1+e^{-\theta}})$如法炮制，发现失败了~~还有各种异想天开。

282842712474

282842712474 发表于 2014-11-26 14:52
哈哈，其实我也想很多展开。比如我想将$e^{-t^2}$展开为$e^{-t}$的幂级数，我是用$x=e^{-t}$，于是
$e ...

@kastin
非平凡的意思是，$f(\theta)$本身不是周期函数，但是通过相关的泰勒级数，得到了$f(\theta)$的傅里叶变换。

如$\sin(e^{i\theta})$，本身就是周期函数，将它展开为泰勒级数，得到傅里叶级数，就是平凡的。

上面我的过程，将$\theta$变为傅里叶级数，可以视为非平凡的，因为$\theta$本身不是周期函数。

当然，这两者很难界定。

但比如，如果想求$\theta^2$的傅里叶级数，则没有像$\theta$那样的纯粹利用泰勒级数得到的结果呀。