间接群逆的待定

fungarwai

$c=(e-ab)^{-1}$，求$(e-ba)^{-1}$
$(e-ba)(x+ycz)=e$
$(e-ba)x+(y-bay)cz=e,y=b$
$x-bax+bz=e,z=a,x=e$
$(e-ba)^{-1}=e+bca$

$c=(a+b)^{-1}$，求$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}$
$(a^{-1}+b^{-1})(x+ycz)=e$
$(a^{-1}+b^{-1})x+(a^{-1}+b^{-1})ycz=e$
$(e+ab^{-1})x+(e+ab^{-1})ycz=a,y=b$
$x+ab^{-1}x+z=a,x=0,z=a$
$(a^{-1}+b^{-1})^{-1}=bca$

华罗庚恒等式
$c=(ab-e)^{-1}$,求$a-b^{-1},((a-b^{-1})^{-1}-a^{-1})^{-1}$
$(a-b^{-1})(x+ycz)=e$
$(a-b^{-1})x+(a-b^{-1})ycz=e,y=b$
$ax-b^{-1}x+z=e,x=0,z=e$
$(a-b^{-1})^{-1}=bc$
$(bc-a^{-1})xy=e,x=ab-e$
$by-by+a^{-1}y=e,y=a$
$((a-b^{-1})^{-1}-a^{-1})^{-1}=aba-a$