一个关于方程的坑，呵呵。

zhouguang

或许可以讨论一系列的问题，来逐步加深对于方程的理解，所以决定开这个帖子，作为一种尝试，下面的将不时滴出一些问题，供大家玩儿，呵呵……
或许依次做一做，就会有所收获呢。呵呵。
开始吧……
Q1在2层，答案在5层。
Q2在6层。


补充内容 (2015-1-28 09:32):
Q2的答案在9层
Q3在10层

zhouguang

Q1：已知方程x^3+x+1=0的根为a，那么，a^2满足哪个方程呢？

fungarwai

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\-1 & -1 & 0\\0 & -1 & 0\end{pmatrix}\)

A=[-1 0 1;-1 -1 0;0 -1 0];
syms x;charpoly(sym(A),x)

$x^3+2x^2+x-1$

fungarwai

类似问题
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... t=%B8%F9&page=2

zhouguang

Q1的答案：
x^3+2x^2+x-1=0

Q1的评论：
呵呵，瞬间之后fungarwai就给出了问题的正确答案，赞一个先。
估计别的童鞋也不会再去做这个题了，所以我公布答案和评论，呵呵。
实际上，如果我见到了此题，假使心情好，那么一定是会打开Mathematica，然后敲入MinimalPolynomial[Root[#^3 + # + 1 &, 1]^2, x]，然后收工，呵呵。
但是这样或许就起不到“玩儿”的作用了，呵呵。
所以这里我推荐2种土的解法，来面向广大的中学童鞋。
1、用维达定理来凑的方法，这种方法可以用手算的，而且是符号计算，请大家试一试，毕竟初等对称多项式蛮好玩儿的。
2、用数值计算的方法，实际求出3个根，然后平方，然后展开(x-x1)(x-x2)...，因为各系数都是整数，所以能得到精确解。
然后，Q2来了。呵呵。

zhouguang

Q2：已知方程x^3+2x^2+x-1=0的根为a，那么，-a^2-a满足哪个方程呢？

fungarwai

我说明一下

$x^3+2x^2+x-1=0$，设$(-x^2-x)(a_n x^2+b_n x + c_n)=a_{n+1} x^2+b_{n+1} x + c_{n+1}$

“若有矩阵A使\(A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}\)，则A的特征值为$-x^2-x$”（我是这样妄想的），所以$-x^2-x$满足A的特征多项式。

\((-x^2-x)(a_n x^2+b_n x + c_n)=\begin{pmatrix} x^4 & x^3 & x^2 & x & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}\)

$x^4=-2x^3-x^2+x$

\(\begin{pmatrix} x^4 & x^3 & x^2 & x & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x^3 & x^2 & x & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

$x^3=-2x^2-x+1$

\(\begin{pmatrix} x^3 & x^2 & x & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^2 & x & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1\\1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} x^2 & x & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1\\1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x^2 & x & 1\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1\\1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \end{pmatrix}\)

然后可以手算特征多项式，或者像#3那样用matlab求，结果是一样的

A=[-1 1 -1;-2 1 -1;1 -1 0];
syms x;charpoly(sym(A),x)

$x^3 + x + 1$

\(\begin{vmatrix} x+1 & -1 & 1 \\ 2 & x-1 & 1\\-1 & 1 & x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x+1 & -1 & 1 \\ 0 & x+1 & 2x+1\\-1 & 1 & x \end{vmatrix}=(x+1)\begin{vmatrix} x+1 & 2x+1 \\ 1 & x \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ x+1 & 2x+1 \end{vmatrix}\)

$(x+1)(x^2-x-1)-(-3x-2)=x^3+x+1$

wayne

这个值得赞一下。

有Q3吗

zhouguang

Q2的答案：
x^3+x+1=0

Q2的评论：
呵呵，莫非这个坑还有人关注？
Q2的求解和Q1是完全一样的，权当是Q1的复习吧。
Q2的答案恰好是Q1的已知条件，真是巧合呀。

zhouguang

Q3：已知方程x^3+x+1=0的根为a，方程x^3+2x^2+x-1=0的根为b，求a和b之间如何用多项式来相互表示。