如何由一维函数的各阶矩重构该函数？

dianyancao

连续随机变量$\mathbf{X}$的概率密度为$f(x)$
$\mathbf{X}$从$0$到$+\infty$的所有$i$阶矩$m_i$都已知
如何由这些矩重构其概率密度$f(x)$？

首先有：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{tx}\dif x=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{t^i}{i!}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)x^i \dif x$$
此即：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{tx}\dif x=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{t^i}{i!}m_i=g(t)$$
其中$g(t)$已知，如何求得如下微分方程的解$f(x)$？
$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{tx}\dif x=g(t)$$

dianyancao

如下代码解出的好像不对？

1. LaplaceTransform[Integrate[f[x]E^(t x),x]==g[t],x,s]
   
2. Solve[%,LaplaceTransform[f[x],x,s-t]]
   
3. InverseLaplaceTransform[%,s,x]

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BeerRabbit

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5 ... 0%E5%87%BD%E6%95%B8

kastin

在概率论中，`g(t)` 叫做随机变量 `X` 的矩母函数。当然，更常用的是特征函数 `\varphi_X(t)=g(it)`
这个特征函数可以视为概率密度函数的傅里叶变换的共轭，因此有反演公式$$f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\oo}^{+\oo}\mathrm e^{itx}\overline{\varphi_X(t)}\dif t$$