积分的微扰展开

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求积分\[\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-ax^2-bx^4\right)\dif x\]的近似表达式。

要求对 \(a\) 或 \(b\) 之一为 \(0\) 时，都能给出合理的值（合理的意思是给出正的有限值）。当 \(b=0\) 时给出精确值。

我构造出的一个为\[\sqrt{\frac{2\pi}{a+\sqrt{a^2+6b}}}\]求更精确的同类近似式。

mathe

可以定义$I(n,a,b)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^n\exp(-ax^2-bx^4)dx$
于是根据分部积分可以得出$I(n,a,b)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}(2ax+4bx^3)exp(-ax^2-bx^4)dx=\frac{2a}{n+1}I(n+2,a,b)+\frac{4b}{n+1}I(n+3,a,b)$

mathe

然后对于任意多项式f(x),f(x^2)exp(-ax^2-bx^4)的积分可以转化为I(0,a,b)和I(2,a,b)的组合。然后选择f(x)=exp(cx^2)代入，利用泰勒展开式就可以确定不同a,b表达式之间的关系

wayne

Mathematica能算出结果呢，用第二类修正的贝塞尔函数表达：

\(\frac{\sqrt{a} e^{\frac{a^2}{8 b}} K_{\frac{1}{4}}\left(\frac{a^2}{8 b}\right)}{2 \sqrt{b}}\)

于是问题就是 这个贝塞尔函数的 近似表达了

kastin

显然 `a`，`b` 均为非负数（或者说它们的实部都不小于零），否则原定积分发散。

在上述条件下，直接计算

1. Integrate[Exp[-a x^2 - b x^4], {x, -Infinity, Infinity}

复制代码

得到精确结果$$\frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{b}}\exp(\frac{a^2}{8b})\mathrm K_{\frac{1}{4}}(\frac{a^2}{8b})$$其中 `\mathrm K_n(z)` 为第二类修正 Bessel 函数。

对于 `a` 为零，或者 `b` 为零时，只需对上式求极限即可得到精确结果——

1. % // Limit[#, a -> 0] &
   
2. %%// Limit[#, b -> 0] &

复制代码

分别是$$\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2 \sqrt[4]{b}}\;(\mathrm{Re}(b)>0)$$以及$$\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{a}}\;(\mathrm{Re}(a)>0)$$

mathe

\(\int_{-\infty}^{+\infty}x^n\exp(-x^4)dx=\frac{1}{n+1}\int_{-\infty}^{+\infty}x^{n+4}exp(-x^4)dx\)
所以我们得出
\(\int_{-\infty}^{+\infty}x^{4n}\exp(-x^4)dx=(4n-3)*(4n-7)*...*1\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^4)dx=(4n-3)!!!!\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^4)dx=(4n-3)!!!!*I(0,0,1)\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}x^{4n+2}\exp(-x^4)dx=(4n-1)!!!!\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\exp(-x^4)dx=(4n-1)!!!*I(2,0,1)\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-ax^2)\exp(-x^4)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(-a)^nx^{2n}}{n!}\exp(-x^4)dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{2n}(2n-3)!!!!}{(2n)!}I(0,0,1)-\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{2n+2}(2n-1)!!!!}{(2n+2)!}I(2,0,1)\)