椭圆积分中的乘法定理

无心得而鬼神服

无心得而鬼神服 发表于 2015-2-28 00:09
截了好几张图，结果上传了之后看着有点乱，从左到右看

谢谢！

数学星空

\(y^2=1-x^4\)

做代换

\(x=\frac{1/2-s}{1/2+s}\)

\(y=\frac{8t}{(1+2s)^2}\)

得到

\(t^2=s^3+s/4\)

即

\(s=\frac{1-x}{2(1+x)}\)

\(t=\frac{\sqrt{1-x^4}}{2(1+x)^2}\)

数学星空

根据mathe提供的计算公式可以算得n倍点横坐标值:
[1]\(x=x\)
[2]\(x=\frac{16x^4-8x^2+1}{16x(4x^2+1)}\)
[3]\(x=\frac{x(256x^8-768x^6+480x^4+144x^2+9)}{(48x^4+24x^2-1)^2}\)
[4]\(x=\frac{(65536x^{16}-655360x^{14}+1425408x^{12}+1024000x^{10}+378368x^8+64000x^6+5568x^4-160x^2+1)}{64x(4x^2+1)(64x^6+80x^4-20x^2-1)^2}\)
[5]\(x=\frac{x(16777216x^{24}-419430400x^{22}+2359296000x^{20}+3119513600x^{18}+2976317440x^{16}+1402863616x^{14}+450805760x^{12}+48128000x^{10}-7020800x^8-1025280x^6+44704x^4+2480x^2+25)}{(20480x^{12}+63488x^{10}-26880x^8-19200x^6-2000x^4-200x^2+1)^2}\)

然后做代换
左边 \(x \to \frac{1-x}{2(1+x)}\)
右边\(x \to \frac{1-y}{2(1+y)}\)

得到:

n=1时 \(x=y\)

n=2时 \(x=\frac{y^4+2y^2-1}{y^4-2y^2-1}\)

n=3时 \(x=\frac{-y(y^8+6y^4-3)}{3y^8-6y^4-1}\)

n=4时 \(x=\frac{-(y^{16}+8y^{14}-12y^{12}+8y^{10}+38y^8-8y^6-12y^4-8y^2+1)}{y^{16}-8y^{14}-12y^{12}-8y^{10}+38y^8+8y^6-12y^4+8y^2+1}\)

n=5时 \(x=\frac{y(y^{24}+50y^{20}-125y^{16}+300y^{12}-105y^8-62y^4+5)}{5y^{24}-62y^{20}-105y^{16}+300y^{12}-125y^8+50y^4+1}\)

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楼上所求结果对于\(n=2,4\)是正确的,但对于\(n=1,3\)与前面算的结果还是不一致哈?

mathe

n=1时x=y显然是正确的解呀
主要问题在于解不唯一

mathe

如果椭圆曲线$y^2=x^3+Ax+B$上点$P(x_p,y_p),Q(x_q,y_q),R(x_r,y_r)$有$R=P+Q$,那么
三点$P(x_p,y_p),Q(x_q,y_q),-R(x_r,-y_r)$共线，
于是设$k=\frac{y_q-y_p}{x_q-x_p},h=y_p-k*x_p$,三点在直线$y=kx+h$上
而且$x_p+x_q+x_r=k^2$,得出$x_r=k^2-x_p-x_q$,$y_r=-k*x_r-h$

于是前面题目中一般情况就是取$P(s,\sqrt{s^3+s/4}),Q(s_0,+-\sqrt{s_0^3+{s_0}/4})$,其中$s_0$是任意一个常数，然后将左边用$R=P+Q$的横坐标来替换$s$

数学星空

已验证23#结果是正确的，现在还有几个问题不太清楚
(1)如何得到通解？
(2)如何计算15#中提到的R，即Z0值？
(3)如何计算17#中提到的mP=nQ+R，若mP=[x1,y1],nQ=[x2,y2] ,R=[x0,y0], 求x1与x2的代数关系?

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\(x_1=-x_2-x_0+\left(\dfrac{y_2-y_0}{x_2-x_0}\right)^2\)

mathe

15#中$z_0$可以任意取，也就是$R(z_0,+-\sqrt{z_0^3+{z_0}/4})$

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有趣的是阿贝尔发现了复形乘法问题:试着找到模\(\mu\)和未知数\(a\),使下列等式:

\[\frac{\dif y}{\sqrt{(1-y^2)(1+\mu y^2)}}=a\frac{\dif x}{\sqrt{(1-x^2)(1+\mu x^2)}}\]

有一般的代数解答?

阿贝尔得到:

\(a=\sqrt{-3}\) 时 \(\mu=(2+\sqrt{3})^2\)

\(a=\sqrt{-5}\) 时 \(\mu=(2+\sqrt{5}+2\sqrt{2+\sqrt{5}})^2\)