柯西积分公式与级数展开的关系疑问

282842712474 · 发表于 2015-2-22 22:21:08

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我一直以为，理解柯西积分公式可以通过幂级数，比如要算积分
$$\int_{|z|=1} \frac{1}{z-1}\dif z$$
把$\frac{1}{z-1}$展开为$z$的幂级数，然后逐项积分，每项都得到0，所以整个积分就为0.

可是，如果是
$$\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}$$
如果这样逐项积分，第一项得到了$2\pi i$，其他都为0，所以求和结果为$2\pi i$.

但是后面的结果显然不对的，这怎么解释呢？

mathe · 发表于 2015-2-23 09:22:51

你的分母在积分路径$|z|=1$上可以取0，也就是说不可积，当然不可以

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