拟合平面上的抛物线

dianyancao

如何求解如下带约束的最小二乘问题？
\[
\min_x{||Ax-b||}_2^2 \\
s.t. \quad x^TCx=0
\]
做拉格朗日函数
\[L(x,\lambda)={||Ax-b||}_2^2+\lambda x^TCx\]
令其对\(x\)的偏导数等于\(0\)，得：
\[2A^T(Ax-b)+2\lambda Cx=0\]
令\(S=A^TA\),\(b'=A^Tb\)，则：
\[(S+\lambda C)x=b' \\
x^TCx=0\]
其中\(\lambda\),\(x\)为未知数
如何继续消元，得到关于\(\lambda\)的多项式呢？

dianyancao

也可求解齐次形式的，不过会增加一个约束条件，防止二次项的范数为0导致曲线退化为直线
\[
\min_x{||Ax||}_2^2 \\
s.t. \quad x^TC_1x=0 \\
\quad x^TC_2x=1
\]
其实可以不用矩阵形式而消元得到关于\(\lambda\)的多项式，是否可以用矩阵形式来表示呢？

dianyancao

该问题可以通过非线性迭代方法数值求解，不强求以解析方式求解啦~
我用的是gsl的非线性拟合来做了，要求估算初始迭代点，由于是平面上的图形，
因此是先估计旋转角度选择一个比较精确的初始点，然后用Jacobian迭代法精确化