收敛的级数必须有界吗？

dianyancao

收敛的级数必须有界吗？
\[s_n=\sum_{i=0}^{n}aq^i \quad (n\to\infty)\]
书上对该无穷等比级数求和，得到结论：当公比\(q\geq 1\)时，\(s_n\)发散，当公比\(q<1\)时，\(s_n\)收敛到\(\frac{a}{1-q}\)
但是存在\(q\to1^-\)的一个邻域，使得该级数和\(s_n\)是无界的，这样说当公比\(q<1\)时，\(s_n\)收敛是否严格呢？

manthanein

楼主你的书没错吧，应该是q的绝对值小于1时才收敛。

mathe

对于每个给定的绝对值小于1的q,对应的级数收敛，其任意有限项构成的部分和构成一个有界集。收敛必然有界就是这个意义。
而不是说所有收敛级数放在一起还是有界的。
当然对于含有一个或多个变量的级数系，我们有一个一致收敛的概念。如果级数系中所有级数都收敛并且极限有界，那么必然是一致收敛(可以理解为收敛的速度是一样的）

dianyancao

mathe 发表于 2017-1-20 15:58
对于每个给定的绝对值小于1的q,对应的级数收敛，其任意有限项构成的部分和构成一个有界集。收敛必然有界就 ...

在讲极限定义时，有一个符号$\forall$，字面上是对于所有的元素来论证一个性质，但是我看到一般都是说对于每一个（任意给定一个），而不是对于所有的，这个符号在极限上用时，不能按对于所有的解释的吗？
比如$1/n$在$n$趋于正无穷的时候，极限是$0$，可以说对于所有的$\epsilon > 0$都存在一个正整数$N$，使得当$n > N$时有$|x_n - 0|<\epsilon$吗？