求`1/(\cos x-\sin x)`的原函数

neluzyy1

被积函数是：`1/(\cos x-\sin x)`。请各路数学大神指点迷津！

gxqcn

尝试下用万能置换公式：

令 \(\tan\dfrac x2 = t\)，
则 \(\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\; \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\;  \dif x=\dfrac{2}{1+t^2}\dif t\)

\(\begin{align*}\therefore&\mathrel{\phantom{=}}\int\frac{1}{\cos x - \sin x}\dif x\\
&=\int\frac{2}{1-2t-t^2}\dif t \\
&=\int\frac{2}{2-(t+1)^2}\dif (t+1)\\
&=\cdots\end{align*}\)

wayne

将分母 和差化积。发现等价于求正割函数的原函数...

282842712474

$$\frac{1}{\cos x-\sin x}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos^2 x-\sin^2 x}=\frac{\cos x}{1-2\sin^2 x}+\frac{\sin x}{2\cos^2 x-1}$$
积分得
\(\begin{align*}\therefore&\mathrel{\phantom{=}}\int \left(\frac{\cos x}{1-2\sin^2 x}+\frac{\sin x}{2\cos^2 x-1}\right)\dif x\\[4ex]
&=\int \frac{1}{1-2\sin^2 x}\dif (\sin x)-\int\frac{1}{2\cos^2 x-1}\dif (\cos x)\\[4ex]
&=\frac{\ln \left(2 \sin x+\sqrt{2}\right)-\ln \left(\sqrt{2}-2 \sin x\right)}{2 \sqrt{2}}+\frac{\ln \left(2 \cos x+\sqrt{2}\right)-\ln \left(\sqrt{2}-2 \cos x\right)}{2 \sqrt{2}}\end{align*}\)

kastin

`a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x+\alpha)`这个不叫和差化积呢，高中学三角函数的时候，这种方法叫做“收缩代换”或者“辅助角公式”（清末数学家李善兰提出的）$$\int\frac{1}{\cos x-\sin x}\dif x=\frac{\dif(x+\frac{\pi}{4})}{\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}$$

kastin

其实看到这种代数式，就应该联想到其对偶形式，于是问题可以变得很容易。令 `\D A=\int\frac{1}{\cos x-\sin x}\dif x`，`\D B=\int\frac{1}{\cos x+\sin x}\dif x`,于是$$A+B=\int\frac{2\cos x}{\cos^2 x-\sin^2 x}\dif x=\int\frac{2\cos x}{1-2\sin^2 x}\dif x=\int\frac{2\dif{\sin x}}{1-2\sin^2 x}=\int(\frac{1}{1+\sqrt{2}\sin x}+\frac{1}{1-\sqrt{2}\sin x})\dif{\sin x}\\
A-B=\int\frac{-2\sin x}{\cos^2 x-\sin^2 x}\dif x=\int\frac{-2\sin x}{2\cos^2 x-1}\dif x=\int\frac{2\dif{\cos x}}{2\cos^2 x-1}=\int(\frac{1}{1+\sqrt{2}\cos x}+\frac{1}{1-\sqrt{2}\cos x})\dif{\cos x}$$联立上述二式，可求出A，B自然也可同时得到。

晓风残月

大神真的好多！！

wayne

kastin 发表于 2015-3-26 14:31
`a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x+\alpha)`这个不叫和差化积呢，高中 ...

蛤蛤，有道理的哈，脱离学校氛围太久，基础概念都忘了。

我们可以理解成 先诱导之，再和差化积：
\[\cos x-\sin x = \sin (x+\pi/2) - \sin x =\sqrt{2}\cos(x+\pi/4)\]