几个不定积分

kastin

昨天偶然打开了Wolfram的在线积分计算页面，功能是Mathematica中的Integrate函数，有意思的是它提供RANDOM EXAMPLE功能，我便好奇地耐心去点击这些例子，看看会出现什么样奇怪的被积函数与结果。结果发现，例子看来是很多的，但复杂的指数以及对数的复合函数的不多，毕竟这样的复合函数大多没有初等原函数（似乎Mathematica将超几何函数以及多重对数函数这样的超越函数也视为明确的已知函数）。

其中发现有些不定积分挺有意思的，现贴出几类形式比较特殊的，希望大家能给出巧妙或者简洁的思路。

A  根式

A-1  `\D \int (a+bx^2)^{3/2}\dif x`
A-2  `\D \int \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\dif x`
A-3  `\D \int \frac{1}{\sqrt{a+bx+cx^2}}\dif x`


B  对数

B-1  `\D \int \ln (a+bx^2)\dif x`                 `\D \int x^2\ln(a+bx^2)\dif x`
B-2  `\D \int \ln(c+\sqrt{a+bx})\dif x`        `\D \int x\ln(c+\sqrt{a+bx})\dif x`          `\D \int x^2 \ln(c+\sqrt{a+bx})\dif x`
B-3  `\D \int \ln(c+\sqrt{a+bx^2})\dif x`    `\D \int x^2\ln(c+\sqrt{a+bx^2})\dif x`


C  三角

C-1  `\D \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin x}}\dif x`
C-2  `\D \int \frac{1}{\sqrt{1-\tan x}}\dif x`
C-3  `\D \int \frac{1}{\sqrt{1-\tan^2 x}}\dif x`

wayne

A-1 要么三角函数代换，要么分部积分，好像都不是很简洁
$ \int (a+bx^2)^{3/2}\dx $ = $x (a+bx^2)^{3/2} -3b \int x^2(a+bx^2)^{1/2}\dx$  
做变量代换：t->x^2:   $ x (a+bx^2)^{3/2} -{3b}/2 \int \sqrt{t(a+b t)}\dt$

282842712474

B-1-1简单，直接分部积分：
$$\begin{aligned} &\int \ln (a+bx^2)\dif x=x \ln (a+bx^2)-\int \frac{2bx^2+2a-2a}{a+bx^2}\dif x\\
=&x \ln (a+bx^2)-2x+2\int \frac{1}{1+\left(\frac{b}{a}\right)x^2}\dif x\\
=&x \ln (a+bx^2)-2x+2\sqrt{\frac{a}{b}}\arctan\left(\sqrt{\frac{b}{a}}x\right)+C\end{aligned}$$

B-1-2类似
$$\begin{aligned} &3\int \ln (a+bx^2)\dif x=x^3 \ln (a+bx^2)-\int \frac{2bx^4}{a+bx^2}\dif x\\
=&x^3 \ln (a+bx^2)-2\int \frac{x^4-(a/b)^2+(a/b)^2}{a/b+x^2}\dif x\\
=&x^3 \ln (a+bx^2)-2\int \left[x^2-a/b+\frac{(a/b)^2}{a/b+x^2}\right]\dif x\\
=&x^3 \ln (a+bx^2)-\frac{2}{3}x^3+\frac{2ax}{b}-\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}\arctan\left(\sqrt{\frac{b}{a}}x\right)+C\end{aligned}$$

wayne

A-2 做变量代换 x =tant ，得到 $-\int {dt}/{\sin t \cos^2 t}$ ，再做变换 y= sint,得到  $\int {dy}/{(1-y^2) y^2}$


A-3 等价于 求 双曲正割函数 或者正割函数 的 原函数

wayne

C-1 等价于 最近的帖子 http://bbs.emath.ac.cn/thread-6106-1-1.html

C-2 ..., 做变量代换 1-1/t^2 = tanx ,  ...

C-3 做变量代换  t = sinx ,得到：  $\int {\dt}/\sqrt{1-2t^2}$

kastin

wayne 发表于 2015-4-3 13:21
A-1 要么三角函数代换，要么分部积分，好像都不是很简洁
$ \int (a+bx^2)^{3/2}\dx $ = $x (a+bx^2)^{3/2} ...

若考虑参数都是正的情形，A类积分我觉得都应该用三角代换，比如A-1可尝试代换 `\D x=\sqrt{\frac{a}{b}}\tan t` 或者 `\D x=\sqrt{\frac{a}{b}}\sinh t`. 相应地，`\D\dif x=\sqrt{\frac{a}{b}}\sec^2 t\dif t`, `\D \dif x=\sqrt{\frac{a}{b}}\cosh t \dif t`.

B-1 由于对数里面是多项式，考虑分部积分立即可求出结果。
B-2 由于对数里面是无理式，分部积分就显得更加复杂了。考虑指数代换 `\mathrm e^t=c+\sqrt{a+bx}`，从而 `\D \dif x=\frac{2}{b}\mathrm e^t(\mathrm e^t-c)\dif t`
B-3 对数里面的根式存在平方，故仍然考虑三角代换

C-1 通过"1"的代换(`1=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}`)：`1-\sin x=(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2})^2`，于是积分化为我们熟悉的形式 `\D\int \frac{1}{|\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}|}\dif x`，这个积分便是之前 neluzyy1 发帖询问的问题.
C-2 同样是“1”的代换(`1=\cos^2x\sec^2x`)：`\D\int\frac{1}{\sqrt{1-\tan x}}\dif x=\int\frac{\cos^2 x}{\sqrt{1-\tan x}}\dif \tan x=\int\frac{1}{(1+\tan^2 x)\sqrt{1-\tan x}}\dif \tan x`，剩下的就简单了。
C-3 因为有平方，故考虑切割化弦（正切用正余弦表示），剩下非常简单。