不等式

ccmmjj

已知三正数a,b,c，有abc=1,a>1,b>1,求证：a+b+c<1/a+1/b+1/c.

kastin

这种轮换对称式类的不等式证明方法很多，先说最简单的方法。
因为 `abc=1`, `a>1`, `b>1`，故可设 `a=y/x`, `b=z/y`, `c=x/z`, 且 `z>y>x>0`
`\begin{align*}\color{black}{原不等式化为}\frac yx+\frac zy+\frac xz < \frac xy+\frac yz+\frac zx&\iff y^2z+z^2x+x^2y < x^2z+y^2x+z^2y\\&\iff z^2(y-x)+y^2(x-z)+x^2(z-y)>0\\&\color{red}{\iff(z-y)(z-x)(y-x)>0(注：hujunhua加塞。2015-5-12，9：20)}\end{align*}`
由于 `z>y>x>0`，故 `z^2(y-x)+y^2(x-z)+x^2(z-y)>x^2(y-x)+x^2(x-z)+x^2(z-y)=0`

ccmmjj

证得好。我真正想问的是，对n个正数，如果它们的积等于1，那么它们的和与它们的倒数和的大小关系有没有什么一般的判别方法。

hujunhua

最简单的方法是直接将(a-1)(b-1)(1-c)>0展开，由此可得a+b+c<ab+bc+ca，右边即是1/a+1/b+1/c.

ccmmjj

hujunhua 发表于 2015-5-11 19:23
最简单的方法是直接将(a-1)(b-1)(1-c)>0展开，由此可得a+b+c

正是这样！不知对3楼的问题有无解答？这是我证明一个不等式的后续思考，我把那个不等式发到“难题征解”，欢迎讨论。