伴圆曲线方程

ccmmjj

如图：BC是圆的直径，D是圆上一点，E是D在BC上的正投影（没标出），A是三角形DBC内一点满足AB＝BD，CA＝CE。当D点在圆上运动时，追踪A点得到如图红色轨迹。
这条曲线显然不是圆及椭圆。象个核桃。我不知道这是什么曲线，请问诸位同好，有没有知道的？
这是我今天解几何题“三角形 ABC中， BC^2-AB^2=AC*BC, 角B=54度，求 角C”引出的问题。

wayne

解析几何，列方程，消元。 目测是一个 四次的 代数曲线

wayne

以圆心为坐标原点，以直径$BC$为$x$轴，
根据直角三角形 $CE*CB=CD^2 =BC^2 - BD^2$，直接列$A$的轨迹方程：
$((x+R)^2+y^2-4R^2)^2 = 4R^2((x-R)^2+y^2)$

wayne

至于 原问题

三角形 ABC中， BC^2-AB^2=AC*BC, 角B=54度，求 角C

我想，正统的解决办法就是 三角变换，将边AB,BC,AC 全部转化成正弦，化简之...

ccmmjj

我想问的是这个曲线在以前有没有大名？如双纽线]心脏线之类。@wayen

wayne

ccmmjj 发表于 2015-5-13 19:21
我想问的是这个曲线在以前有没有大名？如双纽线]心脏线之类。@wayen

Limacon, 蜗牛线, http://mathworld.wolfram.com/Limacon.html

ccmmjj

@wayne 呵呵，果然有个大名叫蜗牛线啊。会英语就是好，可以从那个网站上找到不少资料。我就有些奇怪，我从那几何意义下推导出来的只有那中间那一圈，外面那一大圈也许从方程可以推出来，但几何意义在哪里？还有hujunhua兄可就是当年在东陆论坛教育民科的胡俊华大师？当年看你的“几何难不倒”推导pi/7的那题，可谓印象深刻，钦佩之至。对这原题你说有几何法推得24度，望兄有以教我。@hujunhua

hujunhua

易得BC是三角形是最长边，如图在其上取点D使`CD=CA`,则`BD=BC-AC`，连结线段AD，有`\angle CAD=\angle CDA=:y`.
(角C应标为`x`)
由`BC^2-AB^2=AC\cdot BC \implies BC\cdot BD=AB^2 \implies\triangle ABC\sim\triangle DBA\ \implies\angle DAB=\angle C=:x`
可得` y=x+54\degree, x+2y=180\degree`, 解得`x=24\degree`。

wayne

hujunhua 发表于 2015-5-13 23:29
易得BC是三角形是最长边，如图在其上取点D使`CD=CA`,则`BD=BC-AC`，连结线段AD，有`\angle CAD=\angle CDA= ...

虽然问题的描述形式是纯代数的，不过联想到54°的特殊性，的确从几何形状上做比较方便：

三角形 ABC中， BC^2-AB^2=AC*BC, 角B=54度，求 角C

不过呢，三角代数也很简单的,好处是心中无图，呵呵：
$BC^2-AB^2=AC*BC \implies \sin^2A-\sin^2C =\sin(A+C)\sin(A-C) = \sinB\sinA \implies 2A -C =\pi$,再联立$A+C=\pi -B =\pi - \frac{3\pi}{10}$
于是得`A =  \frac{17\pi}{30} =102\degree ，C =  \frac{2\pi}{15} =24\degree`