（难倒很多人的证明题）等边三角形（yc）

ccmmjj

如图, 已知正三角形ΔABC内的三条直线AD、BE、CF相互截得AF＝BD＝CE，
求证：ΔDEF也是正三角形。

ccmmjj

我先传一个反证法，期待直接证法。

hujunhua

这个问题在本坛讨论过的。
http://bbs.emath.ac.cn/thread-2379-1-1.html
http://bbs.emath.ac.cn/thread-2383-1-1.html

hujunhua

如果用反证法的话，直接比较角就行，方法如下图：

假定中心黄色三角形中边从大到小的顺序为1，2，3，那么由大角对大边可得到其内角的大小顺序1，2，3，和外角的大小顺序1，2，3.
在三个白色三角形中应用余弦定理可得大小顺序1，2，3，接着得到60度角的余角顺序1，2，3.
最后我们看到有一个白色三角形的三个内角编号都是3，因此比其它两个白色三角形的内角和要小. 这就与任意三角形的内角和都等于180度相矛盾。

ccmmjj

hujunhua 发表于 2015-5-19 21:24
如果用反证法的话，直接比较角就行，方法如下图：

假定中心黄色三角形中边从大到小的顺序为1，2，3，那 ...

你的证明和我的本质上没有什么不同。你的链接和本题有相似，但不同。而且那里似乎没有好的做法。我有些想法，明天贴出来。

hujunhua

如图，设`|AE|=|BF|=|CD|=1，|EF|=u, |FD|=v，|DE|=w\\
C-B=l, A-C=ωl, B-A=ω^2l,(ω^2+ω+1=0)`
由定比分点公式可得\[\begin{split}
D&=(v+1)F-vB\\
E&=(w+1)D-wC\\
F&=(u+1)E-uA\\
\end{split}\]


解得\[\begin{split}
D&=\frac{u(v+1)A+vB+w(u+1)(v+1)C}{(u+1)(v+1)(w+1)-1}\\
E&=\frac{v(w+1)B+wC+u(v+1)(w+1)A}{(u+1)(v+1)(w+1)-1}\\
F&=\frac{w(u+1)C+uA+v(w+1)(u+1)B}{(u+1)(v+1)(w+1)-1}
\end{split}\]记`(u+1)(v+1)(w+1)-1=m`所以\[\begin{split}
AE&=\frac{v(w+1)(B-A)+w(C-A)}{(u+1)(v+1)(w+1)-1}\\
&=\frac lm\left(v(w+1)ω^2-wω\right),\\
∴|AE|^2&=\frac{l^2}{m^2}\left(v^2(w+1)^2+vw(w+1)+w^2\right)\\
\text{by turns, } |BF|^2&=\frac{l^2}{m^2}\left(w^2(u+1)^2+wu(u+1)+u^2\right)\\
|CD|^2&=\frac{l^2}{m^2}\left(u^2(v+1)^2+uv(v+1)+v^2\right)\\
\end{split}\]
我们要的是从\[
|AE|^2=|BF|^2=|CD|^2→u=v=w
\]用Mathematica解方程\[
v^2(w+1)^2+vw(w+1)+w^2=w^2(u+1)^2+wu(u+1)+u^2=u^2(v+1)^2+uv(v+1)+v^2
\]确实得到了`u=v=w`

hujunhua

上述暴力计算的直接证明也适合D, E, F在△ABC外部的图形。

nyy

如何简洁明了地证明图中的三角形为正三角形? - 知乎
https://www.zhihu.com/question/437537106

这儿有个类似的题目，可以参考参考

nyy

如何证明这个看似结论显然却难以证明的平面几何命题？ - 知乎
https://www.zhihu.com/question/20429750

看看这个参考一下