哥德巴赫猜想的数值计算

数学星空

我们现在利用数值计算给出'任何一个偶数分解为两个素数和的个数\(J(n)\)'图像，并尽可能精确的给出\(J(n)\)的上下界逼近函数？

数学星空

下面是数值1～20000偶数的计算结果



上面图形中上下界粗黑线函数分别为：

\[\frac{0.31x}{\ln(x)}\]

\[\frac{0.075x}{\ln(x)}\]

hujunhua

哥德巴赫猜想对一些特殊序列是不是更有希望得证。比如，2的幂。定义G(n)=Log[J(2^n)], 30以内的J(2^n)数据为
{0，0，1, 2, 2, 5, 3, 8, 11, 22, 25, 53, 76, 151, 244, 435, 749, 1314, 2367, 4239, 7471, 13705, 24928, 45746, 83467, 153850, 283746, 525236, 975685, 1817111, 3390038}，
G(n)的图像如下，近于一条直线，多规则，显得有希望多了。

hujunhua

对于2p(p为素数）序列，结果就不如2幂序列表现规则。以下分别为前100个素数、前500个素数和前3000个素数的图线：

100

500

1000

数学星空

谁有兴趣给出1~10^8内偶数分解个数的图形?

数论爱好者

数学星空给出的上下界:  
0.31xln⁡(x)

0.075xln⁡(x)
这个估值在偶数增大时,不太理想.
能否在进一步,任意给定在10^18以内的偶数,其上界与下界计算值,和真实值的最高两位数字相同,即做到90%以上的精度.不要用哈代的逼近公式,据说,10^14以后精度有所下降.他采用双标重复计数,连乘积,分解等输入太麻烦,公式在验证时不够友好.
举例:100000哥猜真实值810,要求计算值最高位8要出现,其上下界在800至900之间
100002哥猜真实值1423,要求计算值最高位14要出现,其上下界在1400至1500之间
100004哥猜真实值627,要求计算值最高位6要出现,其上下界在600至700之间
100006哥猜真实值630,要求计算值最高位6要出现,其上下界在600至700之间
各位有没有好的逼近公式,要输入简单一点的公式

数论爱好者

指数在0与1之间

数论爱好者

3x型的偶数上界还是溢出的,还是不行,指数可能还是要哈代常数c的2倍,即1.32....才行

数论爱好者

G(1e14)=90350630388,(3.52hour)
采用数学星空的上界得961652067071,好像大了10倍
采用数学星空的下界得232657758162,已经不是下界了,下界值应该小于实际值,现在大于实际值
我的上界值:1.5743242165457740*10^11
我的下界值:5.7916151300552800*10^10
中间参考值:9.5487590566308280*10^10
不够理想,算了不研究了,整不出来,太伤脑筋了,能力不够

上界值与下界值的比值在极限时,猜测是π值,即3.14倍左右

数论爱好者

闭门造车是不行的
算来算去,哈代的计算常数总是一个绕不过去的坎
哈代的省略计算误差有点大
王元在谈谈素数中说过,x/ln(x-B), B取1来逼近素数分布比较好,仿照他的方法,在哈代的基础采用1来逼近,精度提高了不少,最高位的两个数字终于相同