多面体的构造

无心人

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多面体的构造             jinfei                   发表于:08-06-29 13:41

第一节、菱形多面体

    为说明如何用菱形构造多面体，我们先来了解它的一个特例——正6面体（即正方体，它的每个面均是正方形，而正方形是一种特殊的菱形）。如下图，容易知道连接正6面体的一组“面对角线”得到一个正4面体，因此正6面体可以这样构造出：在正4面体的每一条棱上均添加一个相同的正方形，使得正方形的对角线与正4面体的棱重合。
            

类似地，在正6面体或正8面体的棱上添加适当的菱形可得到菱形12面体（即蜂窝结构），如下图所示：

                     

同样地，在正12面体或正20面体的棱上添加适当的菱形可得菱形30面体，如下图所示：
                       
将所得多面体列表如下：

正多面体	棱上添加	所得多面体	所得多面体的顶点数	所得多面体的棱数	所得多面体的面数
正4面体	正方形	正6面体	8	12	6
正6面体	菱形	菱形12面体	14	24	12
正8面体	菱形	菱形12面体	14	24	12
正12面体	菱形	菱形30面体	32	60	30
正20面体	菱形	菱形30面体	32	60	30

第二节、三角形单纯体

在棱上添加平面四边形可以构成单纯体，那么在棱上添加空间四边形是否能构成单纯体呢？
空间四边形：将平面四边形沿其一条对角线折起，使得到一个三维空间的图形，称这图形为空间四边形。平面四边形的边称为空间四边形的边，折线称为空间四边形的对角线，称由菱形得到的空间四边形为空间菱形。称由正方形得到的空间四边形为空间正方形。我们规定平面四边形也是空间四边形，称它为平凡的空间四边形。若一非平凡空间四边形的边与对角线等长，我们称此空间四边形为正空间四边形。
下面在正多面体的棱上添加空间正方形或正空间四边形来构造单纯体。我们将结果列表如下：

正多面体	棱上添加	所得多面体	所得多面体面的形状	所得多面体顶点数	所得多面体棱数	所得多面体面数
正4面体	正空间四边形	单纯12面体	正三角形	8	18	12
正6面体	正空间四边形	单纯24面体	正三角形	14	36	24
正8面体	正空间四边形	单纯24面体	正三角形	14	36	24
正12面体	正空间四边形	单纯60面体	正三角形	32	90	60
正20面体	正空间四边形	单纯60面体	正三角形	32	90	60

对应图片依次为

多面体	棱上添加	所得多面体	所得多面体面的形状	所得多面体顶点数	所得多面体棱数	所得多面体面数
正4面体	正方形	正6面体	正方形	8	12	6
正8面体	空间正方形	24面体	等要直角三角形	14	36	24
正20面体	空间正方形	60面体	等要直角三角形	32	90	60

对应图片依次为：

第三节、等腰三角形单纯体

下面介绍两种用等腰三角形构造单纯体的方法:
1.
等腰三角形构造2n(n 3)面单纯体:
取一圆O，L是过圆心O且与圆所在平面垂直的直线，P，Q是L上关于O对称的两点。作圆O的内接正n边形，顶点设为A1，A2，…… An，分别连接PA1，PA2，……，PAn，QA1，QA2，……，QAn，则多面体PA1…AnQ就是由等腰三角形构成的2n面单纯体。如下图所示：
                                      
2．等腰三角形构造4n(n>2)面单纯体:
取半径均为r的两个平行的圆O1,圆O2，使圆心连线O1O2垂直于两圆面，线段O1O2的长度设为d，分别在O2O1，O1O2的延长线上取点P，Q，使O1P=O2P=k；分别作圆O1，圆O2的内接正n边形A1A2…An，B1B2…Bn，使点A1、A2、…、

                           

第四节、筝形2n面体

本节将介绍一类特殊的的多面体中最简单的一种——筝形2n面体，即上下各有n（n>3,n=3时对应的是菱形6面体）个筝形的凸单纯体。下面将介绍如何用筝形构造2n（n>=3）面单纯体。筝形在几何上就是一个四边形，定义如下


筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的凸四边形
如下图所示：四边形ABCD，AD垂直平分BC，即它是一个筝形。
                   下面给出一种用筝形构造单纯体的方法：  


一个平面上，则有四边形PA1 B2A2是一个筝形。
设A1A2的中点为M，令︱PM︱=a，︱B2M︱=b，︱A2M︱=c，则︱O1M︱=c*ctg(л/n)，
︱O2B2︱=c/sin(л/n)，四边形PA1B2A2是筝形，此时O1M∥O2B2，于是
︱PM︱/︱PB2︱=︱O1M︱/︱O2B2︱，
即a/（a+b）=c*ctg(л/n)/(c/sin(л/n))
=>
a/b=1/(sec(л/n)﹣1)

由于顶点P周围的面角之和要小于360度，于是 2n∠A2PM<2л
<=>
∠A2PM<л/n
<=>
tg∠A2PM < tg(л/n)
<=>
c/a < tg(л/n).
所以对于一个筝形，只要满足a/b=1/(sec(л/n)﹣1) 且c/a < tg(л/n) ，则它就能构成2n（n>=3）面单纯体。

特别地，当n=3时，由a/b=1/(sec(л/n)﹣1)得
：a=b，故这是一个菱形，构成一个菱形6面体，由此可以得到任何一个菱形均可构成单纯菱形6面体，当菱形的最大内角小于120度时有两种构造方式，当最大内角大于或等于120度时，就只有一种构造方式。下图为菱形六面

第五节、用有一组邻边相等的凸四边形构造单纯体


由筝形构造2n面体得到启发，我们可以用类似的方法用只有一组邻边相等的凸四边形构造2n面单纯体。如下图，由两相等平行的圆：⊙O1和⊙O2，O1与O2的连线垂直于两圆面，在⊙O1中有正n 边形A1A2…An ，在⊙O2中有正 n 边形B1B2…Bn，其中正 n 边形A1A2….An的顶点A1、A2、…、An
在⊙O2上



现在我们考虑其中的两个面，面PA1A2和面A1A2B2，易知，如果这两个面在同一个平面上，则四边形PA1B2A2就满足有一组邻边相等。
设|A1A2|=2c，P到A1A2的距离为a，B2到A1A2的距离为b，即|PM|=a，|B2H|=b。则圆半径R=c/sin（л/n），|O1M|=c·ctg（л/n）。要使面PA1A2和面A1A2B2在同一个平面上，只需面PA1A2与⊙O1夹角和面A1A2B2与⊙O2的夹角相等，也即它们的余弦值相等。
易知，面PA1A2与⊙O1夹角的余弦值为|O1M|/|PM|= c·ctg（л/n）/a，面

第六节、切割构造法

切割构造法即切掉已知多面体的某些部分构造新多面体的方法。用这种方法构造多面体较常用，常见的足球就是沿正二十面体的棱中点切掉他的每个角得到的。切割构造的核心内容就是找到一个合适的切割平面，使得构造出的新多面体具有比较好的性质。在高中立体几何学里，我们知道确定一个平面有以下几种方法。一、不在同一直线上的三点可确定一平面。二、一直线和直线外一点可确定一平面。三、两相交直线或两平行直线可确定一平面。由此对应三种切割构造法。分别称为第一切割构造法，第二切割构造法，第三切割构造法。下面以正多面体为例

第七节、其它构造法

我们称平面上的两个多边形是等价的， 如果分别连接这两个多边形凸出的顶点所得到的凸多边形是全等的。容易验证上述关系是一个等价关系。即已知多边形A、B、C。则有以下关系成立（在抽象代数群的基础知识中有介绍）



面的等价替换构造法：即将已知体的所几何有面或部分面用与之等价的多边形替换掉，然后再连接相应的点来构造新几何体的方法。
例如我们可将正十二面体的正五边形面用与之等价的正五角星替换。将足球的正五边形面与之等价的正五角星替换，正六边形面与之等价的正六角星替换。我们要知道任一已知多面体都可以采用面的等价替换构造法来构造新的几何体。


面的延伸构造法
  面的延伸构造法：即将已知多面体的所有面或部分面向外延伸相交后得新几何体的构造方法。
例如将正十二面体的所有面都延伸出去可得如下多面体：

同样地，我们也可以将正二十面体的所有面延伸出去，这样也可得到新的多面
体。

      棱的延伸构造法：即将已知多面体的所有棱或部分棱向外延伸相交后得新几何体的构造方法。



例如将正二十面体的所有棱延伸出去可得如下多面体：


我们也可以将正二十面体的某一部分棱延伸出去也可得到美妙的几何体。





面的收缩构造法：即已有多面体的所有面或部分面在原来面的位置处缩小，再连接对应点后得新几何体的构造方法。

例如将正四面体采用面的收缩构造法后，四个正三角形面保持不变，四个顶点可变成四个新的正三角形面，六条棱可变成六个正四边形面。所得新几何体如下：


例如将正六面体采用面的收缩构造法后，六个正四边形面保持不变，八个顶点可变成八个新的正三角形面，十二条棱可变成十二个正四边形面。所得新几何体如下：

同样也可将正八面体、正十二面体、正二十面体等采用面的收缩构造法也可得到美妙的几何体
组合构造法：即将多个已知多面体组合在一起后得新几何体的构造方法。
例如将正四面体、正八面体、正二十面体等组合在一起可得如下几何体：

再如下图也是组合构造出来的：

反复叠加构造法：将一种多面体反复组合在一起后得新几何体的构造方法。
多边形穿插体
正二十面体中所有正五边形穿插所得几何体如下图：

正十二面体中所有正五边形穿插所得几何体如下图：


正二十面体中所有正四边形穿插所得几何体如下图

gxqcn

这个，蛮不错的！

无心人

哈哈
源自我对liangbch说的
搜索仅搜索到一篇文字的不相信
我想我用不同的关键字是否能搜索到呢？
结果得到了这两篇奇文和一个专门网站
呵呵

liangbch

to 楼上，我一直用等边多面体作为关键字搜索，原来这种类型的多面体另有其名，等边多面体这个叫法并不普遍。

无心人

可能你日常使用冷僻词语的搜索经验不足
俺们要经常用些稀奇的东西

有时候要变换花样搜的
记得曾看google搜索结果到100多页
去查某项技术的资料

liangbch

这篇文章构造出来的许多多面体为 凹多面体，事实上，凹多面体 并不具有代表性。一般性的研究也不研究凹多面体。事实上，凹多面体可以构造出几乎无数种。比如
    若A多面体是一个等边多面体，B多面体也是一个等边多面体，如果A的某个面 与 B的某个面 全等。 则将这两个面贴在一起，就构成了一个新的等边多面体。
   如果一个棱长1的正20面体(含有20个三角形），一个棱长1的等边92面体(3.3.3.3.5, 含有80个三角形，12个五边形），那么用第一个多面体的任意一个三角形平面 和 第二个多面体的任一个三角形 平面 贴在一起，就构成了一个 111(111=20+92-1)面体.
    有2个等边多面体组合成的凹多面体和可以继续和别的等边多面体组合，按这样的方法，几乎可以组合成任意怪物。

无心人

呵呵

不能那么说
这里构造的体
都比较有意思吧