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[讨论] 求一个数列的通项公式

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发表于 2008-1-17 14:29:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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大家知道,Fibonacci 数列是一个递推定义,但可以求出同项公式。我这里也给出一个数列,大家看看能否求出一个通项公式.
       该数列来自微积分和数学分析引论的一道习题,原题是这样的。
   分数序列 a= { 1/1,3/2,7/5,.... Pn/Qn },其中
      Pn+1= Pn+2Qn, Qn+1= Pn+Qn
     求证:
     1.Pn/Qn 是既约分数(互质分数)
     2.Pn/Qn 的极限趋于sqrt(2)
下面我提出2个问题,
     1. 能否求出 数列的第n项 的一个简析表达式。
     2. 数列的第n项 | an - sqrt(2) | 等于多少
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 楼主| 发表于 2008-1-17 14:35:44 | 显示全部楼层
数列的递推定义公式:
    截屏002.gif
问题1: 截屏004.gif 的解析式 或者 近似值是多少?
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发表于 2008-1-17 16:18:31 | 显示全部楼层
p(n+2)-p(n+1)=p(n)+p(n+1)
=>p(n+2)-2p(n+1)-p(n)=0
=>x^2-2x-1=0
=>x1=1+sqrt(2) x2=1-sqrt(2)
p(n)=c1*(1+sqrt(2))^n+c2*(1-sqrt(2))^n

p(0)=c1+c2=1
p(1)=c1-c2=sqrt(2)
c1=(1+sqrt(2))/2  c2=(1-sqrt(2))/2
p(n)=(1+sqrt(2))^(n+1)/2+(1-sqrt(2))^(n+1)/2
p(n)得到了,则q(n)也得到了,于是a(n)也得到了。

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 楼主| 发表于 2008-1-17 17:18:54 | 显示全部楼层
p(n+2)-2p(n+1)-p(n)=0
=>x^2-2x-1=0
这个不太理解。

p(n)得到了,则q(n)也得到了
Q(n)怎么求?
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发表于 2008-1-17 17:22:23 | 显示全部楼层
q(n)=(p(n+1)-p(n))/2

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发表于 2008-1-17 19:25:37 | 显示全部楼层
原帖由 medie2005 于 2008-1-17 16:18 发表
=>p(n+2)-2p(n+1)-p(n)=0
=>x^2-2x-1=0 ...


这里用的是“特征方程”,它常用于高阶等差数列通项公式的求解。

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