求一个数列的通项公式

liangbch

大家知道，Fibonacci 数列是一个递推定义，但可以求出同项公式。我这里也给出一个数列，大家看看能否求出一个通项公式. 该数列来自微积分和数学分析引论的一道习题,原题是这样的。 分数序列 a= { 1/1,3/2,7/5,.... P_n/Q_n },其中 P_n+1= P_n+2Q_n, Q_n+1= P_n+Q_n 求证： 1.P_n/Q_n 是既约分数（互质分数） 2.P_n/Q_n 的极限趋于sqrt(2) 下面我提出2个问题， 1. 能否求出 数列的第n项 的一个简析表达式。 2. 数列的第n项 | a_n - sqrt(2) | 等于多少

liangbch

数列的递推定义公式： 问题1： 的解析式 或者 近似值是多少？

medie2005

p(n+2)-p(n+1)=p(n)+p(n+1) =>p(n+2)-2p(n+1)-p(n)=0 =>x^2-2x-1=0 =>x1=1+sqrt(2) x2=1-sqrt(2) p(n)=c1*(1+sqrt(2))^n+c2*(1-sqrt(2))^n p(0)=c1+c2=1 p(1)=c1-c2=sqrt(2) c1=(1+sqrt(2))/2 c2=(1-sqrt(2))/2 p(n)=(1+sqrt(2))^(n+1)/2+(1-sqrt(2))^(n+1)/2 p(n)得到了，则q(n)也得到了，于是a(n)也得到了。

liangbch

p(n+2)-2p(n+1)-p(n)=0 =>x^2-2x-1=0

这个不太理解。

p(n)得到了，则q(n)也得到了

Q(n)怎么求？

mathe

q(n)=(p(n+1)-p(n))/2

gxqcn

原帖由 medie2005 于 2008-1-17 16:18 发表 =>p(n+2)-2p(n+1)-p(n)=0 =>x^2-2x-1=0 ...

这里用的是“特征方程”，它常用于高阶等差数列通项公式的求解。