你见过把辅助线做到三维空间中去的平面几何问题吗？

gxqcn

转自：matrix67.com

一  平面三圆问题1



　　问题：平面上三圆两两相交于六点。试证明三条公共弦共点。
　　证明：把这三个圆想像为三个球的大圆。为方便叙述，我们称三个球的球心确定的平面为NK面。显然，这个NK面在三个球上的截面就是题目的这三个大圆，而 NK面上的三个大圆的三条公共弦即是每两个球之间的公共小圆在NK面上的投影。我们要证明的就是三个公共小圆在NK面上的投影共点。注意到三个球交于两点，这两点关于NK面对称且这两点就是三个公共小圆的交点。把这两点也投影到NK面上，得证。


二  平面三圆问题2



　　问题：在平面三个圆中，任意两个圆都有两条公切线且两条公切线交于一点。显然，这样的点有三个。试说明这三点共线。
　　证明：在这个平面的三个圆上放三个球，每个球的半径都等于它底下的那个圆的半径。显然，这个平面是这三个球的一个切面。再把公切线想像成这三个球确定的三个圆锥的母线在平面上的射影。显然三个圆锥的顶点都在这个平面上，且这三个顶点就是待证共线的三点。这三点是显然共线的，因为我们可以在三个球上找到另一个切面（想像一块玻璃板从上面盖下去），那么这个切面上也包含了三个圆锥的顶点，而这两个切面的交线是唯一的一条直线。


三  四人旅行问题
　　问题：平面上四条直线，任两条不平行，任三条不共点。四个旅行者A、B、C、D分别匀速地走在这四条直线上（他们的速度可以不相同）。若A在行走过程中与 B、C、D相遇，B在行走过程中与C、D相遇（当然也遇见了A），求证：C、D在行走过程中相遇。
　　证明：作垂直于平面的直线作为时间轴，建立三维直角坐标系。由于四人均匀速行走，因此他们的路程-时间图像是线形的。我们可以在空间中作出A、B、C、D 四个人行走路程与时间关系的图像并分别命名为La、Lb、Lc、Ld。这样，我们可以从这四条空间直线中轻易判断某一时刻四人的位置。例如，空间中P点 (x,y,t)在直线Lc上，则表明在t时刻C走到了平面(x,y)位置。好，现在强了，真的强了。A、B不是曾经相遇过吗？这就是说，La和Lb相交。这两条相交直线可以确定一个平面。C不是与A、B都相遇过吗？那就是说，Lc与La、Lb都相交。于是，Lc也在这个平面上。同样地，Ld也在这个平面上。既然全部都共面了，Lc、Ld必然会相交，即C、D必相遇。得证。


四  三角形对称问题



　　问题：平面上任意三角形ABC和异于A、B、C三点的点P。X、Y、Z三点分别是P点关于三边BC、AC、AB的中点的对称点。求证：AX、BY、CZ共点。



　　证明：考虑空间中一点P'使PP'垂直于平面ABC。作出X'、Y'、Z'关于三边BC、AC、AB的中点对称。可以得到，点A、B、C、P'、X'、 Y'、Z'是一个平行六面体的顶点。AX'、BY'、CZ'是三条体对角线，他们显然共点。这个证到了有什么用呢？把这几个带了一撇的点全部投影到平面 ABC上，结论就证到了。



做人要厚道，转帖请著名出处。

无心人

你今天爆发了
呵呵
发这么多帖子阿

gxqcn

也没什么，我这是燕子衔泥为筑窝。。。
看见不错的东西拿回来与大家分享分享。

无心人

好境界阿
支持老大的无私奉献
呵呵

mathe

其实很多关于圆锥曲线的问题也都可以通过将辅助线做到三维空间来解决。

无心人

哦？
你也奉献几个例子吧

szskzcg

如何证明“=”引号里的两条线不平行？

hujunhua

其实很多关于圆锥曲线的问题也都可以通过将辅助线做到三维空间来解决。
mathe 发表于 2008-7-25 08:02

丹德林球算得一个，证明圆锥曲线的双焦点定义，非常漂亮的方法。也适合抛物线的证明。

还有一个是迪沙格定理的证明。迪沙格定理属于平面射影几何，与相似概念无关，但是如果限于平面射影几何的范围（不使用相似概念），在平面内就证明不了，必须在空间证明。对于平面射影几何，迪沙格定理必须是公理，这么不显然的公理在数学体系中是很少见的。