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[原创] 一个构造问题:二进制序列的正交基

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发表于 2008-9-5 16:30:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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对正整数 n,n 位二进制序列共有 2^n 个:

000…000
000…001
000…010
000…011
……
111…111

求一组 n 位二进制序列 X[1]、X[2]、……、X[k] ,使得

(一)这组数任意两个的“按位与”结果为 0,即

            X[ i ] AND X[ j ] = 000…000  ,i <> j  (这里的 AND 为“按位与”)

(二)对任意一个从 1 到 2^n-1 之间的数字化成的 n 位二进制序列 A,存在 i,j,使得


           X[ i ] OR X[ j ] = A ,(这里的 OR 为“按位或”,i ,j 可以相等)

      或者换个说法:这组 n 位二进制序列 X[1]、X[2]、……、X[k] 所有两两“按位或”结果覆盖了不为零的 n 位二进制序列

(三)k 要最小


容易知道,k 的下限是 Ceil(  sqrt(2^n - 1) ),(由 k^2>=2^n-1 求得),是否对所有的正整数 n,k 都能达到这个下限?

[ 本帖最后由 sunwukong 于 2008-9-5 16:34 编辑 ]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-9-5 17:17:59 | 显示全部楼层
$n>=5$时不可能存在.
条件(2)要求$k>=sqrt(2^n-1)$,条件(1)要求$k<=n$
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 楼主| 发表于 2008-9-5 20:33:29 | 显示全部楼层
没考虑好,条件太严格了, 修改一下:

求一组 n 位二进制序列 X[1]、X[2]、……、X[k] ,使得

对任意一个从 1 到 2^n-1 之间的数字化成的 n 位二进制序列 A,A或者等于 X[1]、X[2]、……、X[k] 中的一个,或者存在 i、j(i <> j  ),使得

           X[ i ] AND X[ j ] = 000…000  ,(这里的 AND 为“按位与”)

           X[ i ] OR X[ j ] = A ,(这里的 OR 为“按位或”)

求 k 的最小值以及 X[1]、X[2]、……、X[k] 的值。
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