歌德巴赫数对

mathe

http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=40&t=4691 可以写成两个奇素数之和的偶数称为歌德巴赫数。哥德巴赫猜想任意不小于6的偶数都是哥德巴赫数。 且记偶数2n可拆成的所有素数对之集为G(2n), 比如G(16)={(3,13),(5,11)}. 如果存在(p,q)∈G(2n), 使得(2n+p,2n+q)∈G(6n)，我们就将(2n,6n)称为哥德巴赫数对，其中2n称为（哥德巴赫）对首。 请问是否除了下面这些数以外，所有6的倍数都是哥德巴赫对首？ 6 48 138 192 456 522 534 558 576 696 978 1074 1086 1644 2172 2286 2316

无心人

证明题，还是验证题？

mathe

证明显然是很难的，里面包含了歌德巴赫猜想 所以验证一下就可以了

无心人

验证 似乎是个简化的 歌德巴赫猜想验证题目 呵呵 要拿那几个素数筛程序去修改

gxqcn

这个题蛮有意思的，有一种有限美在其中，假如真的仅有主题帖中列举的 17 个例外的话。 将自然数集或者它的某个无穷子集按某种性质划分为两部分，如果其中一个部分是有限集，往往显得弥足珍贵，此即吾所谓的有限美也。 如果这有限的部分需要经过艰辛的努力才能全部找齐，那就是命里注定的数海明珠了。 与有限可媲美的是稀疏，都是物以稀为贵的缘故。

白新岭

48=3*16=(16+3)+(16+13),这里16=3+13应该符合楼主的定义，为什么把它给排除掉呢？如果是因为48=3*16=(16+5)+(16+11）,中的不是素数，那你的哥德巴赫数对一对也没有。只能在你不言而喻的情况下，象哥德巴赫猜想那样，才有哥德巴赫数对，也就是说只要在2n=p+q中有一组能使2n+p，2n+q都是素数，就算是哥德巴赫数对。

mathe

白新岭 发表于 2019-1-10 10:25
48=3*16=(16+3)+(16+13),这里16=3+13应该符合楼主的定义，为什么把它给排除掉呢？如果是因为48=3*16=(16+5) ...

由于有您这样的误解，管理员已重新编辑主帖，使表述更清晰。
按编辑后的定义，(16,48)的对首是16，不是48。
对于48，应该考察的数对是(48, 144), G(48)={(5,43),(7,41),(11,37),(17,31)(19,29)},而
48+43不是素数
48+7不是素数
48+37不是素数
48+17不是素数
48+29不是素数
所以……

白新岭

理解错了，我把列举出来的按6n看待了

白新岭

当2n不是3的倍数时

设(p,q)∈G(2n), (2n+p,2n+q)∈G(6n), 由于p, p+q, p+2q为等差数列，其中必有3的倍数，故p=3.
2n=3+q(奇素数），q，q+6, 2q+3同时为素数，这在自然数中分布的稀疏程度已近于孪生素数，可见非6n形哥德巴赫数对比较稀少。
用Excel获得前1000000偶数中有2661个非6n形哥德巴赫数对。

当计算哥德巴赫数对的分布密度时，非6n形的贡献为无穷小，故关注的重点为3倍数的偶数。


补充内容 (2019-1-16 10:20):
经验算可知，除了楼主提到的17个6n的偶数不是哥德巴赫数对外，再没有其它的反例。随着6n的增大，哥德巴赫数对与哥德巴赫猜想一样呈现波浪式的增大。

白新岭

偶数        2n+3        4n-3
8        11        13
10        13        17
16        19        29
20        23        37
50        53        97
56        59        109
70        73        137
76        79        149
100        103        197
160        163        317
170        173        337
176        179        349
196        199        389
226        229        449
230        233        457
280        283        557
310        313        617
356        359        709
386        389        769
506        509        1009
560        563        1117
566        569        1129
610        613        1217
616        619        1229
650        653        1297
856        859        1709
1016        1019        2029
1036        1039        2069
1066        1069        2129
1120        1123        2237
1190        1193        2377
1220        1223        2437
1280        1283        2557
1430        1433        2857
1450        1453        2897
1456        1459        2909
1486        1489        2969
1546        1549        3089
1556        1559        3109
1610        1613        3217
1616        1619        3229
1666        1669        3329
1696        1699        3389
1780        1783        3557
1996        1999        3989
2066        2069        4129
2396        2399        4789
2470        2473        4937
2710        2713        5417
3166        3169        6329
3460        3463        6917
3530        3533        7057
3536        3539        7069
3620        3623        7237
3730        3733        7457
4010        4013        8017
4136        4139        8269
4516        4519        9029
4640        4643        9277
4676        4679        9349
5006        5009        10009
5230        5233        10457
5300        5303        10597
5396        5399        10789
5446        5449        10889
5480        5483        10957
5560        5563        11117
5686        5689        11369
5746        5749        11489
5810        5813        11617
5846        5849        11689
6050        6053        12097
6076        6079        12149
6260        6263        12517
6320        6323        12637
6656        6659        13309
6826        6829        13649
6866        6869        13729
7016        7019        14029
7646        7649        15289
7826        7829        15649
7870        7873        15737
7876        7879        15749
8240        8243        16477
8266        8269        16529
8366        8369        16729
8540        8543        17077
8696        8699        17389
8710        8713        17417
8750        8753        17497
8966        8969        17929
9046        9049        18089
9130        9133        18257
9400        9403        18797
9436        9439        18869
9536        9539        19069
9626        9629        19249
9646        9649        19289
9736        9739        19469
9746        9749        19489
9970        9973        19937
这是10000以内的非6n形哥德巴赫数对。