歌德巴赫数对

mathe · 发表于 2008-10-16 09:53:20

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http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=40&t=4691
可以写成两个奇素数之和的偶数称为歌德巴赫数。哥德巴赫猜想任意不小于6的偶数都是哥德巴赫数。
且记偶数2n可拆成的所有素数对之集为G(2n), 比如G(16)={(3,13),(5,11)}.
如果存在(p,q)∈G(2n), 使得(2n+p,2n+q)∈G(6n)，我们就将(2n,6n)称为哥德巴赫数对，其中2n称为（哥德巴赫）对首。
请问是否除了下面这些数以外，所有6的倍数都是哥德巴赫对首？
6
48
138
192
456
522
534
558
576
696
978
1074
1086
1644
2172
2286
2316

无心人 · 发表于 2008-10-16 17:05:08

证明题，还是验证题？

mathe · 发表于 2008-10-16 17:22:01

证明显然是很难的，里面包含了歌德巴赫猜想

所以验证一下就可以了

无心人 · 发表于 2008-10-16 17:25:21

验证
似乎是个简化的
歌德巴赫猜想验证题目
呵呵
要拿那几个素数筛程序去修改

gxqcn · 发表于 2008-10-16 21:31:33

这个题蛮有意思的，有一种有限美在其中，假如真的仅有主题帖中列举的 17 个例外的话。

将自然数集或者它的某个无穷子集按某种性质划分为两部分，如果其中一个部分是有限集，往往显得弥足珍贵，此即吾所谓的有限美也。

如果这有限的部分需要经过艰辛的努力才能全部找齐，那就是命里注定的数海明珠了。

与有限可媲美的是稀疏，都是物以稀为贵的缘故。

白新岭 · 发表于 2019-1-10 10:25:45

48=3*16=(16+3)+(16+13),这里16=3+13应该符合楼主的定义，为什么把它给排除掉呢？如果是因为48=3*16=(16+5)+(16+11）,中的不是素数，那你的哥德巴赫数对一对也没有。只能在你不言而喻的情况下，象哥德巴赫猜想那样，才有哥德巴赫数对，也就是说只要在2n=p+q中有一组能使2n+p，2n+q都是素数，就算是哥德巴赫数对。

mathe · 发表于 2019-1-10 10:39:01

白新岭发表于 2019-1-10 10:25
48=3*16=(16+3)+(16+13),这里16=3+13应该符合楼主的定义，为什么把它给排除掉呢？如果是因为48=3*16=(16+5) ...

由于有您这样的误解，管理员已重新编辑主帖，使表述更清晰。
按编辑后的定义，(16,48)的对首是16，不是48。
对于48，应该考察的数对是(48, 144), G(48)={(5,43),(7,41),(11,37),(17,31)(19,29)},而
48+43不是素数
48+7不是素数
48+37不是素数
48+17不是素数
48+29不是素数
所以……

白新岭 · 发表于 2019-1-10 11:22:55

理解错了，我把列举出来的按6n看待了

白新岭 · 发表于 2019-1-10 16:40:25

当2n不是3的倍数时

设(p,q)∈G(2n), (2n+p,2n+q)∈G(6n), 由于p, p+q, p+2q为等差数列，其中必有3的倍数，故p=3.
2n=3+q(奇素数），q，q+6, 2q+3同时为素数，这在自然数中分布的稀疏程度已近于孪生素数，可见非6n形哥德巴赫数对比较稀少。
用Excel获得前1000000偶数中有2661个非6n形哥德巴赫数对。

当计算哥德巴赫数对的分布密度时，非6n形的贡献为无穷小，故关注的重点为3倍数的偶数。

补充内容 (2019-1-16 10:20):
经验算可知，除了楼主提到的17个6n的偶数不是哥德巴赫数对外，再没有其它的反例。随着6n的增大，哥德巴赫数对与哥德巴赫猜想一样呈现波浪式的增大。

白新岭 · 发表于 2019-1-10 17:28:37

偶数 2n+3 4n-3
8 11 13
10 13 17
16 19 29
20 23 37
50 53 97
56 59 109
70 73 137
76 79 149
100 103 197
160 163 317
170 173 337
176 179 349
196 199 389
226 229 449
230 233 457
280 283 557
310 313 617
356 359 709
386 389 769
506 509 1009
560 563 1117
566 569 1129
610 613 1217
616 619 1229
650 653 1297
856 859 1709
1016 1019 2029
1036 1039 2069
1066 1069 2129
1120 1123 2237
1190 1193 2377
1220 1223 2437
1280 1283 2557
1430 1433 2857
1450 1453 2897
1456 1459 2909
1486 1489 2969
1546 1549 3089
1556 1559 3109
1610 1613 3217
1616 1619 3229
1666 1669 3329
1696 1699 3389
1780 1783 3557
1996 1999 3989
2066 2069 4129
2396 2399 4789
2470 2473 4937
2710 2713 5417
3166 3169 6329
3460 3463 6917
3530 3533 7057
3536 3539 7069
3620 3623 7237
3730 3733 7457
4010 4013 8017
4136 4139 8269
4516 4519 9029
4640 4643 9277
4676 4679 9349
5006 5009 10009
5230 5233 10457
5300 5303 10597
5396 5399 10789
5446 5449 10889
5480 5483 10957
5560 5563 11117
5686 5689 11369
5746 5749 11489
5810 5813 11617
5846 5849 11689
6050 6053 12097
6076 6079 12149
6260 6263 12517
6320 6323 12637
6656 6659 13309
6826 6829 13649
6866 6869 13729
7016 7019 14029
7646 7649 15289
7826 7829 15649
7870 7873 15737
7876 7879 15749
8240 8243 16477
8266 8269 16529
8366 8369 16729
8540 8543 17077
8696 8699 17389
8710 8713 17417
8750 8753 17497
8966 8969 17929
9046 9049 18089
9130 9133 18257
9400 9403 18797
9436 9439 18869
9536 9539 19069
9626 9629 19249
9646 9649 19289
9736 9739 19469
9746 9749 19489
9970 9973 19937
这是10000以内的非6n形哥德巴赫数对。

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