判断点P在哪个四面体内

chyanog

http://wenku.baidu.com/view/750b8e0303d8ce2f00662381.html
3 、设P是正四面体ABCD内部任意一点，O是外接球的球心， V(A-BCD) 表
示三棱锥A-BCD的体积（下同），若V(P-BCD)、V(P-ACD)、V(P-ABC)与V(A-BCD)的比分别是1/4、1/2、1/6，则P的位置是在（ ）
A 、三棱锥O-ABC 内部 B、三棱锥O-ACD内部
C 、三棱锥O-BCD 内部 D、三棱锥O-ABD内部
参考答案上选A，我觉得正确答案应是D

wayne

V(P-ABD) = 1/12 ,又因为是正四面体，所以更贴近 ABD面才对。  我也觉得 应该选D

kastin

wayne 发表于 2015-7-13 10:57
V(P-ABD) = 1/12 ,又因为是正四面体，所以更贴近 ABD面才对。  我也觉得 应该选D

确实是A，同底同高体积就一样，因此P点位置不仅仅取决于V(P-ABD) 。

首先，V(P-BCD)/V(A-BCD)=1/4，说明P与O在同一平面，且与平面BCD距离相等。然后V(P-ACD)/V(A-BCD)=1/2说明P点要么在O-ABC内，要么在O-ABD内。V(P-ABC)/V(A-BCD)=1/6<1/4，因此在O-ABC内。

如果仅仅凭借V(P-ABD) = 1/12V(A-BCD)，则只能判断可能位于O-ABC内，或者O-ABD内，或者O-ACD内。

hujunhua

D。有图为证


不妨假定V(A-BCD)=1.
1、由V(P-ACD)=1/2知，P在三棱锥P-ACD的中位面EFG上。
2、由V(P-BCD)=1/4知，P在三角形EFG的中位线HI 上。
3、由V(P-ABC)=1/6知，P为HI的一个三等分点，靠H端。
由此可知P在O-ABD内。

chyanog

kastin 发表于 2015-7-13 11:34
确实是A，同底同高体积就一样，因此P点位置不仅仅取决于V(P-ABD) 。

首先，V(P-BCD)/V(A-BCD)=1/4，说 ...

用Mathematica10.1检验了下，应该是D

1. 
   
2. Block[{A, B, C, D, P, O, pt},
   
3. {A, D, C, B} = PolyhedronData["Tetrahedron", "VertexCoordinates"];
   
4. P = {x, y, z};
   
5. O = {0, 0, 0};
   
6. pt = {x, y, z} /.
   
7.    First@Solve[{Volume@Tetrahedron[{P, B, C, D}],
   
8.          Volume@Tetrahedron[{P, A, C, D}],
   
9.          Volume@Tetrahedron[{P, A, B, C}]}/
   
10.         Volume@Tetrahedron[{A, B, C, D}] == {1/4, 1/2, 1/6} &&
    
11.       Element[{x, y, z}, Tetrahedron[{A, B, C, D}]], {x, y, z}];
    
12. Print[pt];
    
13. Print[{1/4, 1/6, 1/12, 1/2}.{A, D, C, B} // Simplify];
    
14. RegionMember[Tetrahedron@#, pt] & /@ {{O, A, B, C}, {O, A, C, D}, {O,
    
15.      B, C, D}, {O, A, B, D}}
    
16. ]
    
17. 
    
18. Module[{A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, H1, H2, H3, H4, P, O, pt},
    
19.   {A, D, C, B} = PolyhedronData["Tetrahedron", "VertexCoordinates"];
    
20.   P = {Sqrt[3]/8, -(1/24), 0};
    
21.   O = {0, 0, 0};
    
22.   {E, F, G} = {(A + k B)/(1 + k), (A + k C)/(1 + k), (A + k D)/(
    
23.      1 + k)} /. k -> 3;
    
24.   {H, I, J} = {(B + k A)/(1 + k), (B + k C)/(1 + k), (B + k D)/(
    
25.      1 + k)} /. k -> 1;
    
26.   {H1, H2} = {(E + k F)/(1 + k), (E + k G)/(1 + k)} /. k -> 1/2;
    
27.   {H3, H4} = {(G + k F)/(1 + k), (G + k E)/(1 + k)} /. k -> 7/2;
    
28.   Print[{Norm[A - E]/Norm[E - B], Norm[F - G]/Norm[C - D],
    
29.      Norm[E - H1]/Norm[H1 - F], Norm[H1 - H2]} // Simplify];
    
30.   Graphics3D[{
    
31.     {Opacity@0.5, Tetrahedron[{A, B, C, D}]},
    
32.     {Thick, Line[{O, #} & /@ {A, B, C, D}]},
    
33.     {Red, PointSize@Large, Point[P]},
    
34.     {Line[{H1, H2}], Line[{H3, H4}]},
    
35.     {Opacity@0.7, Red, Polygon[{E, F, G}], Green, Polygon[{H, I, J}],
    
36.      Blue, Polygon[{(D + k A)/(1 + k), (D + k B)/(1 + k), (D + k C)/(
    
37.         1 + k)} /. k -> 5]},
    
38.     Text @@@
    
39.      Transpose@{{"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", "I", "J",
    
40.         "H1", "H2", "H3", "H4"},
    
41.        1.1 {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, H1, H2, H3, H4}}
    
42.     }, Boxed -> False, ViewPoint -> {-1, 3, 1}]
    
43.   ] // Quiet
    

复制代码

wayne

hujunhua 发表于 2015-7-13 18:19
D。有图为证

想到一个题目，耍一耍，
问题一） 由于 $ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 0$ ，所以存在表达式 $ \vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD} = \lambda \vec{PO}$，那么$ \lambda = ?$

问题二） 仅仅用 $ \lambda \vec{PO}$ 来作确定 点$P$在四面体 {OABC，OABD，OACD，OBCD}的内部，是否充分？

hujunhua

chyanog 发表于 2015-7-13 18:52
用Mathematica10.1检验了下，应该是D

好佩服、羡慕wayne和chyanog在Mathematica使用上的造诣。以后遇到问题请教二位时，还望不吝赐教。

wayne

hujunhua 发表于 2015-7-14 11:06
好佩服、羡慕wayne和chyanog在Mathematica使用上的造诣。以后遇到问题请教二位时，还望不吝赐教。

额，事实上，chyanog 的熟练程度已经远甚于我啦～