【孪生素数群问题】存在任意多 2n 个连续素数，它们恰好构成 n 对孪生素数！

天山草

例如，在小于 4 亿的范围内，有 12 个连续的素数：
325267931,325267933,
325267937,325267939,
325267949,325267951,
325267961,325267963,
325267979,325267981,
325267991,325267993。
它们恰好构成 n=6 对孪生素数！

接下来，在小于 6 亿的范围内，也有 12 个连续的素数：
412984667,412984669,
412984727,412984729,
412984751,412984753,
412984799,412984801,
412984877,412984879,
412984907,412984909。
它们也是恰好构成 n=6 对孪生素数！

在小于 8 亿的范围内，有 14 个连续的素数：
678771479,678771481,
678771491,678771493,
678771551,678771553,
678771557,678771559,
678771617,678771619,
678771647,678771649,
678771659,678771661。
它们恰好构成 n=7 对孪生素数！

n=8 的情况（据说是老外发现的）：

1107819732821，1107819732823；
1107819732911，1107819732913；
1107819732917，1107819732919；
1107819732947，1107819732949；
1107819732959，1107819732961；
1107819732977，1107819732979；
1107819733037，1107819733039；
1107819733061，1107819733063。

n=9 的情况（据说是老外发现的）：

170669145704411，170669145704413；
170669145704501，170669145704503；
170669145704507，170669145704509；
170669145704591，170669145704593；
170669145704639，170669145704641；
170669145704669，170669145704671；
170669145704747，170669145704749；
170669145704807，170669145704809；
170669145704819，170669145704821。

更大的 n 据说还没有被发现。

请各位编写 Mathematica 程序，算出 n>9 的数据。

天山草

三年前，本人编程算出了部分 n=7、6、5、4、3 、2 的情况。程序是用 VB6 编写的，大概水平很烂，自觉拿不出手。
当年，本人将这问题称为孪生素数的 n 家村【现在看来，叫孪生素数群或是孪生素数丛比较高雅】， n 越小， n 家村越多。例如：
在 10 亿以内， 2 家村共有 218241 个，最小的 2 家村是 11，13； 17，19。其次是101，103；107，109。........
在 10 亿以内， 3 家村共有 14986 个，最小的 3 家村是 179，181；191，193；197，199。其次是 809，811；821，823；827，829。........
在 10 亿以内， 4 家村有 1005 个； 5 家村有 50 个； 6 家村仅有 3 个而已； 7 家村呢，只有一家； 8 家村呢，一家也没有。

看来越是户数多的“大村庄”，数目就越少。本人在 1000 亿以内的范围内共找到六个 7 家村，它们是：

678771479，678771481
678771491，678771493
678771551，678771553
678771557，678771559
678771617，678771619
678771647，678771649
678771659，678771661
--------------------------------
17479880399, 17479880401
17479880417, 17479880419
17479880447, 17479880449
17479880459, 17479880461
17479880477, 17479880479
17479880489, 17479880491
17479880519, 17479880521
----------------------------------
17830729991, 17830729993
17830730081, 17830730083
17830730087, 17830730089
17830730117, 17830730119
17830730129, 17830730131
17830730171, 17830730173
17830730189, 17830730191
----------------------------------
23799917819, 23799917821  
23799917861, 23799917863
23799917891, 23799917893
23799917969, 23799917971
23799918011, 23799918013
23799918029, 23799918031
23799918047, 23799918049
-----------------------------------
70455134039，70455134041
70455134051，70455134053
70455134117，70455134119
70455134147，70455134149
70455134159，70455134161
70455134171，70455134173
70455134207，70455134209
-----------------------------------
79453842029，79453842031
79453842047，79453842049
79453842071，79453842073
79453842101，79453842103
79453842107，79453842109
79453842119，79453842121
79453842161，79453842163
-----------------------------------

在 1000 亿至 1450 亿之间，找到了一组 7 家村【这当然是最小的那个 7 家村，如果扩大范围，我想应该会有无数个 7 家村。】：

108108566471, 108108566473
108108566477, 108108566479
108108566519, 108108566521
108108566537, 108108566539
108108566567, 108108566569
108108566591, 108108566593
108108566609, 108108566611

主楼中介绍的 8 家村和 9 家村的数据，是网友提供的，据说那是老外发现的。期待中国人能算出一个 10 家村来。能算出第二个 8 家村或是第二个 9 家村，那也了不起。


补充内容 (2015-7-27 08:46):
怎么编辑不了？最小的七家村应是：
678771479，678771481
678771491，678771493
678771551，678771553
678771557，678771559
678771617，678771619
678771647，678771649
678771659，678771661

llz2012

天山草 发表于 2015-7-26 07:26
三年前，本人编程算出了部分 n=7、6、5、4、3 、2 的情况。程序是用 VB6 编写的，大概水平很烂，自觉拿不出 ...

若n为有限的常数，先生的结论应该是正确的。

llz2012

四生素数无穷多
设正整数n，p为不大于√（n+8）的素数，1≤m≤n,若m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，则m,(m+2),(m+6)和(m+8)这四个数都是素数，称为四生素数，或四胞胎素数。
满足条件m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp , (m+8)≠0modp，即是对不大于√（n+8）的素数，去掉模2余0的一个同余类，去掉模3余0和1的两个同余类，去掉模5余0、3、4和2四个同余类，大于5小于√（n+8）的其它素数都去四个同余类。当素数大于7小于或等于√（n+8）时，去掉的同余类小于余下的同余类，所以，随着n的增大，四生素数波动地增多。所以，四生素数无穷多。

zeroieme

llz2012 发表于 2015-8-9 19:18
四生素数无穷多
设正整数n，p为不大于√（n+8）的素数，1≤m≤n,若m≠0modp , (m+2)≠0modp，(m+6)≠0modp ...

牛人啊，证明了四生素数无穷多，就包含了证明孪生素数无穷多。还不去领世界大奖。