内接凸N边形的N边形周长最小值问题

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对于 N = 3 我们知道内接于三角形的最小周长为垂足三角形.

现在我们分别讨论 N = 4,5,6 边形的最小周长的具体计算方案?

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对于\(N=3\)时,\(P\)点为垂心,则有:

\(L=R(\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C))=a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)=\frac{8s^2}{abc}\)

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倪举鹏

可以先考虑钝角三角形，还有菱形，菱形中的小长方形看满足什么

倪举鹏

貌似钝角三角形已经就不满足这垂心了

倪举鹏

四边形考虑：钝角，钝角，钝角，锐角；钝角，钝角，锐角，锐角；钝角，锐角，钝角，锐角；钝角，锐角，锐角，锐角；四种情况

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对于\(N=3\)的直角三角形与钝角三角形:

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对于\(N=4\)时

一般的凸四边形各边长分别为\(a,b,c,d\),其对角线长为\(m,n\),且对角线互相被分成\(m_1,m_2,n_1,n_2\),四边形面积为\(s\),则有关系式

\(-a^4c^2+a^2b^2c^2+a^2b^2d^2-a^2b^2m^2-a^2c^4+a^2c^2d^2+a^2c^2m^2+a^2c^2n^2-a^2d^2n^2+a^2m^2n^2-b^4d^2+b^2c^2d^2-b^2c^2n^2-b^2d^4+b^2d^2m^2+b^2d^2n^2+b^2m^2n^2-c^2d^2m^2+c^2m^2n^2+d^2m^2n^2-m^4n^2-m^2n^4=0\)

\((a^4-2a^2b^2-2a^2m^2+b^4-2b^2m^2-c^4+2c^2d^2+2c^2m^2-d^4+2d^2m^2)^2+(32a^4-64a^2b^2-64a^2m^2+32b^4-64b^2m^2+32c^4-64c^2d^2-64c^2m^2+32d^4-64d^2m^2+64m^4)s^2+256s^4=0\)

\((a^4-2a^2d^2-2a^2n^2-b^4+2b^2c^2+2b^2n^2-c^4+2c^2n^2+d^4-2d^2n^2)^2+(32a^4-64a^2d^2-64a^2n^2+32b^4-64b^2c^2-64b^2n^2+32c^4-64c^2n^2+32d^4-64d^2n^2+64n^4)s^2+256s^4=0\)


\(m^2(n+a+d)(-n+a+d)(a-d-n)(-d+n+a)-2m(n+a+d)(-n+a+d)(a-d-n)(-d+n+a)m_2+(a^4-2a^2d^2-2a^2n^2-b^4+2b^2c^2+2b^2n^2-c^4+2c^2n^2+d^4-2d^2n^2)m_2^2=0\)

\(-m^2(-n+b+c)(n+b+c)(-c+n+b)(b-c-n)+2m(-n+b+c)(n+b+c)(-c+n+b)(b-c-n)m_1+(a^4-2a^2d^2-2a^2n^2-b^4+2b^2c^2+2b^2n^2-c^4+2c^2n^2+d^4-2d^2n^2)m_1^2=0\)

\(n^2(m+a+b)(-m+a+b)(a-b-m)(-b+m+a)-2n(m+a+b)(-m+a+b)(a-b-m)(-b+m+a)n_1+(a^4-2a^2b^2-2a^2m^2+b^4-2b^2m^2-c^4+2c^2d^2+2c^2m^2-d^4+2d^2m^2)n_1^2=0\)

\(-n^2(-m+c+d)(m+c+d)(-d+m+c)(c-d-m)+2n(-m+c+d)(m+c+d)(-d+m+c)(c-d-m)n_2+(a^4-2a^2b^2-2a^2m^2+b^4-2b^2m^2-c^4+2c^2d^2+2c^2m^2-d^4+2d^2m^2)n_2^2=0\)



更简洁的形式:

\(m^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(A+C)\)

\(4s=\sqrt{4m^2n^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2}\) (贝利契纳德 Bretschneider 面积公式)

\(s=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{4}(m^2n^2-(ac+bd)^2)}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos(\frac{A+B}{2})^2}\)