一个群体比赛的胜负概率及分布问题

dasaint

问题是这样的。假设某学校有1000名学生，他们的成绩服从正态分布。（取值可从负无穷到正无穷）。甲和乙两个老师分别从中随机选15人（不能被同时选中同一个学生），分别计算总成绩，哪一个老师选的学生总成绩高，计该老师胜一次，该队每个学生胜一次，一样高则算平。一次比赛结束后，把学生放回去，再重新开始比第二次。就这样一直比下去。问题是：（1）甲乙两个老师的胜率是多少？（是不是50%？或者49.9%？）（2）学生们个人的胜率服从一个什么样的分布？（是不是正态分布？均值和方差是多少？和学生成绩的分布一致吗？或者有什么相关或者无关？）

（3）如果学生成绩服从均匀分布，以上问题答案是多少？

（4）如果选的人数变成每个老师30个人，结果是否有变化？

（5）再来个复杂的，将15个人分成3组权重，5个0.1,5个0.15,5个0.2，如果一个学生出现连续3次获胜，则第4次被选中时将其权重强制为0.1，其余情况均是按1/3概率随机分配每个人的权重。（每队3个权重数还是各5个），这一规则对于学生个人的胜率分布有何影响？

kastin

取值可从负无穷到正无穷，也就是说他们的成绩也可以是负无穷到正无穷？有点奇怪，毕竟试题量有限，成绩最高最低分必然有限。

另外，所谓“他们的成绩服从正态分布”是指，每个人的成绩都是独立同分布且都为正态分布，还是说他们的成绩组成的样本服从正态分布？

感觉问题跟人数有关，比如只有15人，只有30人，只有100人……答案是不同的，而且即使是同样的1000人，答案会随着个体的不同而不同（除非这个样本容量是无穷大）——正态分布概率密度曲线上随机取1000个点的方式有无穷多种。

dasaint

kastin 发表于 2015-8-9 09:09
取值可从负无穷到正无穷，也就是说他们的成绩也可以是负无穷到正无穷？有点奇怪，毕竟试题量有限，成绩最高 ...

谢谢你的回复。第一个问题，成绩只是一个比方，取无穷是因为不想设定上下限（不知道这个对于计算结果是不是有影响），设上下限的话我想想觉得应该也没什么问题，因为毕竟是连续的。第二个问题是指这1000人的成绩，每个人是给了一个固定的值，这1000个值服从正态分布。

BeerRabbit

我觉得直接用数学语言进行表述比较好，严禁。
用实例化的形式表述反而会出现一些理解偏差。

dasaint

BeerRabbit 发表于 2015-8-10 11:58
我觉得直接用数学语言进行表述比较好，严禁。
用实例化的形式表述反而会出现一些理解偏差。

我觉得原文讲的还是蛮清楚的。就当他是个应用题

KeyTo9_Fans

没有发现第一问有什么值得思考的地方。

两个老师的策略完全一样，所以他们的胜率没有什么理由不一样。

而且当成绩是实数时，打平的概率为$0$，两个老师的胜率各为$50%$。

这样理解有误吗？

后面几问才值得研究。

dasaint

KeyTo9_Fans 发表于 2015-8-11 16:26
没有发现第一问有什么值得思考的地方。

两个老师的策略完全一样，所以他们的胜率没有什么理由不一样。

对的。确实是主要是后面几个问题。请帮忙一起想想